Prof. Doherty Andrade
- Introdução
A transformada de Laplace de uma função \(f\) é dada pela transformação integral definida por
$$\mathcal{L}{f(t)} = \int_0^\infty f(t) \mbox{e}^{-st} \mathrm{d}s.$$
Talvez a maior aplicação desta transformação integral é na resolução de problemas de valor inicial, pois ela destroi derivadas.
As condições suficientes para a existência de
\(\mathcal{L}{f}\) são:
(a) \(f\) é contínua por partes e;
(b) \(f\) ser de ordem exponential.
Então, existe um real \(\alpha\) tal que
$$
\int_0^\infty \mbox{ e}^{-st}f(t)dt,$$ converge para todos os
valores de \(s>\alpha.\)
Uma importante propriedade utilizada em EDOs é:
$$ {\cal L} f^\prime = {\cal L}[f] – f(0^+), \,\,\mbox{se}\,\,\ f^\prime \in {\cal E}$$
Do mesmo modo,
$$ {\cal L} f^{\prime \prime} =s^2 {\cal L}[f] –
sf(0^+)-f^{\prime}(0^+) ,\,\,\,\mbox{se}\,\,\ f^{\prime \prime}
\in {\cal E}.$$
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