O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples \( C \) e uma integral dupla na região \( D \) delimitada por \( C \).

Na aplicação do teorema, a orientação considerada é a orientação positiva, o que significa que a região fica à esquerda ao percorrermos a curva. No exemplo em que a curva \(C\) é uma cirgunferência, percorremos a curva \( C \) no sentido anti-horário!

Teorema de Green

Teorema de Green:
Seja \( C \) uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente e seja \( D \) a região delimitada por \( C\). Se \( P \) e \( Q \)têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contém \( D \), então

\[
\int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}  dA.
\]

Notações Alternativas

As notações

\[
\oint_C P \, dx + Q \, dy \quad \text{e} \quad \int_C P \, dx + Q \, dy,
\]

são também usadas para enfatizar que a integral é calculada sobre uma curva fechada \(C \) usando a orientação positiva.

A fronteira da região \( D \) também pode ser denotada por \( \partial D \). Usando essa notação, o teorema de Green é enunciado como:

\[
\iint_D  \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}  dA = \int_{\partial D} P \, dx + Q \, dy.
\]

Ideia da Demonstração

Mostraremos que

\[
\int_C P \, dx = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dA.
\]

Vamos supor que a região \( D \) pode ser escrita como

$$D = \{ ( x, y ) \in  R^2 : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\},$$

onde \( g_1 \) e \( g_2 \) são funções contínuas.

Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos
$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} dy \, dx = \int_a^b [P(x, g_2(x)) – P(x, g_1(x))] dx.
$$

Por outro lado, podemos escrever a fronteira \( C \) de \( D \) como a união dos caminhos \( C_1, C_2, C_3 \) e\( C_4 \).

Consequentemente,

$$\int_C P \, dx = \int_{C_1} P \, dx + \int_{C_2} P \, dx + \int_{C_3} P \, dx + \int_{C_4} P \, dx.$$

É claro que podemos repetir o procedimento para \(Q\) no lugar de \(P\).

Finalmente, combinando os resultados, obtemos

$$\int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} dA.$$

Região Simples

Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região D pode ser escrita tanto como
$$D = \{ (x, y) \in R^2 : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \} $$
quanto
$$D = \{ (x, y) \in  R^2 : c \leq y \leq d, \, h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \},$$
onde \( g_1, g_2, h_1 \) e \( h_2 \) são funções contínuas. Chamamos tais regiões de regiões simples.
O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que \( D \) é a união finita de regiões simples.

Referência:
MARSDEN, Jerrold E.; TROMBA, Anthony. Vector Calculus. 6th ed. New York: W. H. Freeman, 2011.

Veja exemplos de aplicação do teorema de Green aqui. Teorema de Green – Exemplos

e aqui também
Teorema de Green – Mais exemplos