Prof. Doherty Andrade
- Introdução
Os métodos tradicionais como bissecção, Secante e Método de Newton-Raphson podem também serem aplicados ao problema de determinar soluções de equações polinomiais. Entretanto, como os polinômios possuem
inúmeras propriedades podemos utilizá-las para simplificar a
aplicação dos métodos numéricos.
Não existe uma fórmula geral para o cálculo das raízes de
polinômios, são conhecidas apenas fórmulas para polinômios
particulares de graus 1, 2, 3 ou 4. Para polinômios de grau maior
ou igual a 5 foi provado que é impossível obter as suas raízes por
meio de operações algébricas.
Vejamos alguns resultados importantes sobre a existência e
localização das raízes de polinômios.
Teorema Fundamental da Álgebra:
Se \(p(x)\) é um polinômio de grau \(n\geq 1\), então \(p(x)\) possui
exatamente \(n\) raízes.
As raízes do polinômio podem ser complexas, como é o caso de \(p(x)= x^2+1.\)
Em alguns casos podemos garantir ao menos uma raiz real.
Teorema :Se \(p(x)\) é um polinômio de grau ímpar, então \(p(x)\) possui
ao menos uma raiz real.
O teorema do resto apresenta uma fatoração quando se conhece uma raiz.
Teorema (Resto) Seja \(p(x)\) um polinômio. O resto da divisão de \(p(x)\) por \(x-a\) é
igual a \(p(a)\). Isto é, \(p(x)= q(x)(x-a) + p(a)\) para algum
polinômio \(q(x)\).
2. O Teorema de Sturm
O Teorema de Sturm apresenta um critério para determinar
a quantidade de raízes que um polinômio possui em um dado
intervalo.
Vamos supor que \(f(x)\) seja um polinômio sem raízeszes
múltiplas. Assim, \(MDC (f(x),f^{\prime} (x))=1\). Utilizamos o
algoritmo de Euclides da seguinte forma:
$$f_0(x) = f(x)$$
$$ f_{1} (x) =f^{\prime} (x)$$
$$f_0(x) = q_1(x)f_1(x)- f_2(x)$$
$$f_1(x) = q_2(x)f_2(x) – f_3(x)$$
$$ \vdots = \vdots $$
$$f_{r-1}(x) = q_r(x)f_r(x) – 0 $$
os polinômios \(f_2, f_3,\ldots, f_r\) são os restos das divisões com
o sinal trocado.
Como \(\hbox{MDC} (f(x),f^{\prime} (x))=1\), segue que \(f_{r} (x)\)
é uma constante e o processo pára.
Consideremos a sequência de funções polinomiais $$P=\{f_{0} (x),f_{1} (x),\ldots ,f_{r} (x)\}.$$
Se \(a\) não é raiz de \(f(x)\) vamos denotar por \(\omega (a)\) o
número de mudanças de sinal (ignorando os zeros) na
sequência \(P(a)\).
Agora podemos enunciar o Teorema de Sturm.
Teorema (Sturm): Seja \(f(x)\) um polinômio e sejam
\(b<c\) reais. Se \(f(b)\neq 0\) e \(f(c)\neq 0\), então o
número de raízes distintas de \(f(x)\) entre \(b\) e \(c\)
é dado por \(\omega (b)-\omega (c)\).
Exemplo 1: Seja \(f(x)=x^{3} -6x^{2} +11x-6\). A
sequência de funções polinomiais é
$$P= x^{3} -6x^{2} +11x-6,x^{2} -4x+\frac{11}{3} ,x-2,1 .$$
Tomemos \(b=0\) e \(c=4\) e o seguinte quadro de mudanças de sinais
da sequência em \(P\):
\begin{matrix}Pontos & Sinais & de & P & \\ \hline 0 & – & + & -& +\\ \hline 4 & + & +& + & +& \end{matrix}
Segue que \(\omega (b)-\omega (c)=3-0=3\) e portanto existem
três raízes no intervalo \([0,4]\).
Exemplo 2: Para o polinômio \(p(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24\) temos a
seguinte sequência
$$P=\{x^4-10x^3+35x^2-50x+24,x^3-\frac{15}{2}x^2+\frac{35}{2}x-
\frac{25}{2},x^2-5x+\frac{29}{5},x-\frac{5}{2},1\} .$$
Tomemos \(b=0\) e \(c=5\), temos a seguinte distribuição de sinais
\begin{matrix}Pontos & Sinais & de & P & \\ \hline 0 & + & – & + &-&+\\ \hline 5 & + & + & + & +&+\end{matrix}
segue que \(w(b)-w(c)= 4-0=4\) e portanto o polinômio possui 4
raízes no intervalo \([0,5]\).
Exemplo 3: Para o polinômio \(p(x)=x^3+2x^2-5x-6\) temos a
seguinte sequência
$$P=\{x^3+2x^2-5x-6,x^2+\frac{4}{3}x-\frac{5}{3},x+\frac{22}{9},1\} .$$ Tomemos
\(b=-4\) e \(c=4\). Segue que \(\omega (b)-\omega (c)=3\) e portanto
existem três raízes nesse intervalo.
3. Critério de Descartes O número de zeros reais positivos \( p\) de um polinômio \(p(x)\) com coeficientes reais, não excede ao número \(\nu\) de variações de sinal dos coeficientes de \(p(x)\). Além disso, \(\nu-p\) é um inteiro par e não negativo.
Em \(p(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24\) temos que:
* o número de variações de sinais é \(\nu=4\).
* Segue que o número de raízes positivas \(p\) deve satisfazer \(4-p
\geq 0\) é inteiro par.
Assim, \(p=4\) ou \(p=2\) ou \(p=0\).
Para determinar o número de raízes reais negativas basta aplicar o
procedimento acima ao polinômio \(p(-x)\). Isto é, as raízes negativas
de \(p(x)\) são as raízes positivas de \(p(-x)\).}
Exemplo: Para o polinômio
\(p(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24\) temos que
\(p(-x)=x^4+10x^3+35x^2+50x+24\) e \(\nu^\prime=0\) e, portanto,
\(\nu^\prime-p^\prime\geq 0\), ou seja \(p^\prime =0\), não existe
raiz negativa.
Exemplo: Para o polinômio
\(p(x)={x}^{5}-3\,{x}^{4}+{x}^{3}-{x}^{2}+2\,x+1 \) temos que
\(\nu=4\) e \(p\) deve satisfazer \(4-p \geq 0\) deve ser inteiro par.
Segue que \(p=4,2\) ou \(p=0\). Trocando \(x\) por \($-x\) temos \(p(-x)=
-{x}^{5}-3\,{x}^{4}-{x}^{3}-{x}^{2}-2\,x+1\), nesse caso o número
de variações de sinais de \(p(-x)\) é \(\nu^\prime=1\) e assim o
número de raízes negativas \(p^\prime\) deve satisfazer \(1-p^\prime
\geq 0\) inteiro e par. Segue que \(p^\prime=1\).
Teorema: Seja \(p(x)= a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x +
a_0\) um polinõmio de grau \(n\) (portanto \(a_n \neq 0\)) e seja
$$\rho= 1 + \max_{0 \leq k \leq n-1} \frac{|a_k|}{|a_n|}.$$ Então,
as raízes de \(p(x)\) pertencem ao círculo \(|x| \leq \rho.\)
Para o \(p(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24\) temos \(\rho= 1+ \max{ 10,
35, 50,24}=51\). Segue que as raízes de \(p(x)\) pertecem ao círculo
\(|x| \leq 51.\) Em particular, as raízes reais pertecem ao
intervalo \([-51,51]\).