Método SOR: Sobrerrelaxação para Resolver Sistemas Lineares
O Método SOR – Successive Over-Relaxation, é uma técnica iterativa eficiente para resolver sistemas lineares \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), especialmente útil quando a matriz \(A\) é grande e esparsa.
Como Funciona
O SOR é uma melhoria do método de Gauss-Seidel que introduz um parâmetro de relaxação \(\omega\):
\[x_i^{(k+1)} = ((1-\omega)) x_i^{(k)} + \frac{\omega}{a_{ii}} (( b_i – \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{(k+1)} – \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j^{(k)} ))\]
Interpretação de \(\omega\)
- \(\omega = 1\): Método de Gauss-Seidel padrão
- \(1 < \omega < 2\): Sobrerrelaxação — acelera convergência
- \(0 < \omega < 1\): Sub-relaxação — estabiliza iterações instáveis
⚠️ Se o método converge, então necessariamente : \(0 < \omega < 2\) –Teorema de Kahan.
Exemplo Rápido
Para o sistema:
\[\begin{cases} 4x_1 + x_2 + x_3 = 7 \\ x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 9 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 8 \end{cases}\]
Com \(\mathbf{x}^{(0)} = (0,0,0)\) e \(\omega = 1.25\), o SOR converge para \(\mathbf{x} \approx (1, 1, 1)\) em apenas 7 iterações, enquanto Gauss-Seidel (\(\omega = 1\)) necessitaria de ~15 iterações para a mesma precisão.
Dicas Práticas
- Para sistemas com dominância diagonal: use \(\omega \approx 1.2\text{–}1.5\)
- Sempre verifique se \(|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|\) (dominância diagonal)
- Teste valores de \(\omega\) entre 1.0 e 1.8 para encontrar o ótimo empírico
Ferramenta Interativa
Experimente resolver sistemas lineares com o método SOR usando nossa calculadora online gratuita:
Recursos da ferramenta:
- Resolução passo a passo com histórico de iterações
- Verificação automática de dominância diagonal
- Exportação para LaTeX com tabelas formatadas
- Suporte a sistemas de qualquer dimensão
O método SOR é amplamente utilizado em simulações de fluidos, elementos finitos e resolução de equações diferenciais parciais por diferenças finitas.