Doherty Andrade
Neste post apresentamos o código em Python do método do shooting linear.
$$(PVF)\begin{cases} y^{\prime\prime}= p(x) y^\prime +q(x) y + r(x),\,\,
x \in (a,b) \cr
y(a)= \alpha,\cr
y(b)= \beta.\end{cases}$$
Como sabemos se $p(x), q(x)$ e $r(x)$ são contínuas em $[a,b]$ e se
$q(x)>0$ para todo $x \in [a,b]$, então o (PVF) acima tem uma
única solução.
O método do shooting linear consiste em tomar dois problemas de valor
inicial (PVI) associados ao (PVF). Os dois PVI´s são dados por
$$(PVI-1)\begin{cases} y^{\prime\prime}= p(x) y^\prime +q(x) y + r(x),\,\,
x \in (a,b) \cr
y(a)= \alpha,\cr
y^\prime(a)= 0,\end{cases}$$
e
$$(PVI-2)\begin{cases} y^{\prime\prime}= p(x) y^\prime +q(x) y ,\,\,
x \in (a,b) \cr
y(a)= 0,\cr
y^\prime(a)= 1.\end{cases}$$
Note que nestes problemas, as equações são quase as mesmas, mas as
condições iniciais são diferentes.
Os problemas (PVI-1) e (PVI-2) possuem, cada um, uma única
solução. Sejam $y_1(x)$ a solução de (PVI-1) e $y_2(x)$ a solução
de (PVI-2).
Uma conta fácil mostra que
\begin{equation}
y(x)= y_1(x) + \displaystyle\frac{\beta –
y_1(b)}{y_2(b)}y_2(x),\,\,\, x \in [a,b]
\end{equation}
é solução do (PVF), desde que $y_2(b)\neq 0$. Como a sua solução é
única, então esta é a solução do (PVF).
A expressão
acima mostra que a solução $y(x)$ é uma combinação
linear entre as duas soluções $y_1(x)$ e $y_2(x).$