O método do ponto fixo para sistemas 2 por 2

Método do Ponto Fixo para Sistemas de 2 Equações e 2 Variáveis

O método do ponto fixo é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações não lineares da forma:

\[ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases} \]

Formulação do Método

Reescrevemos o sistema na forma equivalente:

\[ \begin{cases} x = g_1(x, y) \\ y = g_2(x, y) \end{cases} \]

Algoritmo Iterativo

Escolha $ (x_0, y_0) $ inicial
Para $ k = 0, 1, 2, \ldots $, calcule: \[ \begin{cases} x_{k+1} = g_1(x_k, y_k) \\ y_{k+1} = g_2(x_k, y_k) \end{cases} \]
Pare quando $ \|(x_{k+1}, y_{k+1}) – (x_k, y_k)\| < \epsilon $

Critério de Convergência

Seja $ \mathbf{g} = (g_1, g_2) $ e $ \mathbf{J_g} $ sua matriz Jacobiana. Se $ \|\mathbf{J_g}\| < 1 $ numa vizinhança da solução $ \mathbf{p} $, então o método converge para $ \mathbf{p} $.

\[ \mathbf{J_g} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x} & \frac{\partial g_1}{\partial y} \\ \frac{\partial g_2}{\partial x} & \frac{\partial g_2}{\partial y} \end{bmatrix} \]

Exemplo Numérico

Resolver o sistema não linear:

\[ \begin{cases} x = \frac{1}{2}\cos y \\ y = \frac{1}{2}\sin x \end{cases} \]

Com $ (x_0, y_0) = (0.5, 0.5) $ e $ \epsilon = 10^{-4} $:

$ k $	$ x_k $	$ y_k $
0	0.500000	0.500000
1	0.438791	0.239713
2	0.485624	0.233827
…	…	…
10	0.483937	0.232925

Implementação em Python

import numpy as np

def fixed_point_2d(g1, g2, x0, y0, tol=1e-6, max_iter=100):
    x, y = x0, y0
    for _ in range(max_iter):
        x_new = g1(x, y)
        y_new = g2(x, y)
        
        if np.linalg.norm([x_new-x, y_new-y]) < tol:
            return x_new, y_new
            
        x, y = x_new, y_new
    
    return x, y

# Exemplo de uso:
# solution = fixed_point_2d(lambda x,y: 0.5*np.cos(y),
#                         lambda x,y: 0.5*np.sin(x), 0.5, 0.5)