Prof. Doherty Andrade

Introdução: O método de Newton-Raphson é um dos métodos mais eficientes para a
solução numérica de $f(x)=0$. Esse método possui
ordem de convergência 2.

Suponha que $f(x)$ tenha uma raiz simples no intervalo $[a,b]$ e
que $f$ seja de classe $C^2$ em $[a,b]$. Dado $x_n \in (a,b)$,usando o desenvolvimento de Taylor, podemos escrever
$$ f(x)= f(x_n)+f^\prime(x_n) (x-x_n)+ \frac{1}{2!}
f^{\prime\prime}(\xi_n) (x-x_n)^2,$$ onde $\xi_n$ está entre $x$e $x_n$.

Se $\alpha$ é a solução, então $$ 0= f(x_n)+f^\prime(x_n) (\alpha-x_n)+ \frac{1}{2!}
f^{\prime\prime}(\xi_n) (\alpha-x_n)^2,$$ onde $\xi_n$ está entre $\alpha$ e $x_n$.

Supondo que $x_n$ esteja suficientemente próximo de $\alpha$,podemos desprezar o resto $$\frac{1}{2!} f^{\prime\prime}(\xi_n)(\alpha-x_n)^2,$$ donde obtemos uma aproximação para $\alpha$

$$ \alpha \approx x_n- \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)},
$$
desde que $f^\prime (x_n) \neq 0$.

Obtemos assim o método de Newton-Raphson que nos dá $x_{n+1}$ como
uma aproximação para a raiz $\alpha$ por

\begin{equation}
x_{n+1}= x_n- \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}, n \geq 0.
\end{equation}

Note que o método de Newton-Raphson é um método iterativo de passo 1 e que para ser iniciado necessitamos da aproximação inicial $x_0$.

A função \begin{equation} \displaystyle\varphi(x)= x-
\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
\end{equation}
é chamada de função de iteração para o método de Newton-Raphson.
Como $\varphi^\prime(\alpha)=0$ e $\varphi^\prime (x)$ é contínua, segue que existe uma vizinhança de $\alpha$ em que
$|\varphi^\prime (x)| \leq k <1$, onde $0 \leq k <1$. O que mostra que $\varphi(x)$ é uma contração em alguma vizinhança de $\alpha$. Sendo uma contração, o Teorema do Ponto Fixo explica porque o método de Newton-Raphson funciona.

Método prático: Uma maneira prática para usar
o método de Newton-Raphson é utilizar uma tabela como mostrado abaixo na tabela.

Nesse exemplo, determinamos uma aproximação para a solução da
equação $4\cos(x)-\mbox{e}^x=0$ localizada em $[0,1]$, tomamos $x_0=0.9$ como aproximação inicial.

Interpretação Gráfica: A reta tangente ao gráfico de
$f(x)$ no ponto $(x_k, f(x_k))$ cruza o eixo $OX$ no ponto
$x_{k+1}$ dado por $$x_{k+1}= x_k-
\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}.$$

Isso justifica o outro nome do método de Newton-Raphson: o método das tangentes.

Jupyter Notebook — Python:

Para baixar o arquivo Jupyter Notebook com o método de Newton-Raphson clique aqui.

Para ver o pdf do arquivo Jupyter Notebook com o método de Newton-Raphson clique aqui.