O Método Adams-Bashforth de quarta ordem é obtido aproximando $f$ por um polinômio de grau 3
interpolador em $x_i, x_{i-1},x_{i-2},x_{i-3}$ e usando a regra de
integração
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx \approx \frac{h}{24} \left[
55f(x_i)-59 f(x_{i-1})+37f(x_{i-2})-9f(x_{i-3})\right]$$
onde $h= x_{i+1}-x_i.$ Substituindo em \begin{equation}
y(x_{i+1})= y(x_i)+\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x))dx.\end{equation} obtemos

$$
y_{i+1}= y_i + \frac{h}{24} \left[ 55f(x_i, y_i)-59
f(x_{i-1},y_{i-1})+37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3})\right],
i\geq 3$$
que é a fórmula do Método de Adams-Bashforth de quarta ordem.

Observe que para determinar $y_4$ precisamos conhecer $y_0,y_1,
y_2,y_3$; como $y_0$ já é dado precisamos determinar os demais.
Fazemos isto usando um método numérico de passo simples, em geral usamos o método de Runge-Kutta de ordem 4-MRK4. No código JS aqui utilizamos o MRK4.
Clique aqui para fazer simulações para determinar soluções numéricas usando este método.
Método de Adams-Bashforth de quarta ordem.