O Método da Secante

\author{Prof. Doherty Andrade}

\section{Introdução}
O método de Newton-Raphson tem o inconveniente de necessitar da
derivada da função. O método da secante é obtido a partir do método de Newton substituindo $f^\prime (x_k)$ por uma aproximação:
$$f^\prime (x_k)\approx \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}.$$

Resulta que
\begin{equation}
x_{k+1}= \frac{f(x_k)x_{k-1}-f(x_{k-1})x_k}{f(x_k)-f(x_{k-1})}, k
\geq 1,
\end{equation}
esse é o método da secante. Note que o método inicia-se com dois pontos conhecidos $x_0$ e $x_1$.

Assim, chamando $$\phi(x,y)= \frac{xf(y)-f(x)y}{f(y)-f(x)},$$ vemos que o
método da secante é estacionário de passo 2.

\section{O método da Secante}
Vimos acima que dados os pontos iniciais $x_0$ e $x_1$, o método da
secante é dado por
\begin{equation}
x_{k+1}= \frac{f(x_k)x_{k-1}-f(x_{k-1})x_k}{f(x_k)-f(x_{k-1})}, k
\geq 1.
\end{equation}

A interpretação geométrica, ilustrada na figura a seguir, é que a
reta secante ao gráfico de $f$ que passa pelos pontos
$(x_{n-1},f(x_{n-1}))$ e $(x_{n},f(x_{n}))$ cruza o eixo $OX$
exatamente no ponto $x_{n+1}$ dado por
$$x_{n+1}= \frac{f(x_n)x_{n-1}-f(x_{n-1})x_n}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.$$

Teorema 1: Suponha que $f, f^\prime , f^{\prime\prime}$ são contínuas em todos os pontos de algum
intervalo contendo $\alpha$ raiz simples de $f$. Se as aproximações
iniciais $x_0$ e $x_1$ são suficientemente próximas de $\alpha$,
então a sequência gerada pelo método da secante converge para
$\alpha$ .

Além disso, a ordem de convergência no método da secante
é $p= \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$ .

A prova desse resultado pode ser encontrada no livro de K. ATKINSON .

\section{Exemplo} Consideremos a equação $x\tan(x)-1=0$. Utilizamos o
método da secante para obter uma aproximação para a menor solução
positiva. Fazendo uma análise do gráfico, vemos que existem
infinitas soluções, uma delas no intervalo $[0,1]$. Tomando $x_0=0.75$ e $x_1=1.0$ obtemos as seguintes aproximações, veja tabela.