Clique aqui para simular e praticar Método de Adams-Bashfort de ordem 4.
Estamos interessados em resolver numéricamente problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias: $$\begin{cases} y^\prime (x)= f(x,y(x)), \,\,\, x \in [a,b]\cr y(x_0)= y_0. \end{cases}$$
Como vimos nos métodos anteriores, a solução aproximada $y_{k+1}$
para ser determinada era preciso conhecer apenas $y_k$ a
aproximação imediatamente anterior, mesmo que para isto tivéssemos que avaliar $f$ e suas derivadas em vários outros pontos. Estes métodos são chamados de métodos de passo simples ou passo um. Nos métodos de passo múltiplo (multi-step), para determinarmos $y_{k+1}$ é preciso conhecer algumas aproximações anteriores $y_k,
y_{k-1},\ldots, y_{k-m}$. Um destes métodos será apresentado aqui. Uma pergunta natural é a seguinte: porque não continuar usando o métodos de passo simples e mudar para o método de passo múltiplo? A resposta é simples, o esforço computacional nos métodos de passo simples é bem maior.
Consideremos, ainda o problema de valor inicial,
$$\begin{cases}
y^\prime (x)= f(x,y(x)), \,\,\, x \in [a,b]\cr y(x_0)= y_0,
\end{cases}$$
tomemos os pontos $a=x_0<x_1<x_2< \cdots < x_n=b$ igualmente
espaçados e $h= x_{i+1}-x_i$. Integrando,
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} y^\prime (x)dx = \int_{x_i}^{x_{i+1}}
f(x,y(x))dx,$$ o que dá
\begin{equation}\label{pvi-int}
y(x_{i+1})= y(x_i)+\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x))dx.\end{equation}
Os métodos de passo múltiplo, são
baseados na aproximação da integral, substituindo $f$ por um polinômio interpolador em nós (abscissas)
equidistantes.
Escolhendo os nós de interpolação $x_i, x_{i-1}, \ldots, x_{i-r}
\in [a,b]$ obtemos os métodos de Adams-Bashforth.
O Método Adams-Bashforth de quarta
odem: é obtido aproximando $f$ por um polinômio de grau 3
interpolador em $x_i, x_{i-1},x_{i-2},x_{i-3}$ e usando a regra de
integração
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) dx \approx \frac{h}{24} \left[
55f(x_i)-59 f(x_{i-1})+37f(x_{i-2})-9f(x_{i-3})\right]$$ onde $h=
x_{i+1}-x_i.$ Substituindo no PVI integral obtemos
\begin{equation}\displaystyle y_{i+1}= y_i + \frac{h}{24} \left[ 55f(x_i, y_i)-59
f(x_{i-1},y_{i-1})+37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3})\right],
i\geq 3
\end{equation}que é a fórmula do Método de Adams-Bashforth de quarta ordem.
Observe que para determinar $y_4$ precisamos conhecer $y_0,y_1,
y_2,y_3$; como $y_0$ já é dado precisamos determinar os demais.
Fazemos isto usando um método numérico de passo simples.
O erro local no MAB-4 é dado por
\begin{equation}\frac{5}{12} h^5 y^{(5)}(\eta_i)\end{equation}
onde $\eta_i \in (x_{i-3},x_i).$ O erro global é proporcional a
$h^4.$
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