Método SOR: Sobrerrelaxação para Resolver Sistemas Lineares
O Método SOR – Successive Over-Relaxation, é uma técnica iterativa eficiente para resolver sistemas lineares \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), especialmente útil quando a matriz \(A\) é grande e esparsa.
Como Funciona
O SOR é uma melhoria do método de Gauss-Seidel que introduz um parâmetro de relaxação \(\omega\):
\[x_i^{(k+1)} = (1-\omega) x_i^{(k)} + \frac{\omega}{a_{ii}} \left( b_i – \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_j^{(k+1)} – \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_j^{(k)} \right)\]
Interpretação de \(\omega\)
- \(\omega = 1\): Método de Gauss-Seidel padrão
- \(1 < \omega < 2\): Sobrerrelaxação — acelera convergência
- \(0 < \omega < 1\): Sub-relaxação — estabiliza iterações instáveis
⚠️ Se o método converge, então necessariamente: \(0 < \omega < 2\) -- Teorema de Kahan.
Exemplo Rápido
Para o sistema:
4x_1 + x_2 + x_3 = 7 \\
x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 9 \\
x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 8
\end{cases}\]
Com \(\mathbf{x}^{(0)} = (0,0,0)\) e \(\omega = 1.25\), o SOR converge para \(\mathbf{x} \approx (1, 1, 1)\) em apenas 7 iterações, enquanto Gauss-Seidel (\(\omega = 1\)) necessitaria de ~15 iterações para a mesma precisão.
Ferramenta Interativa
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O método SOR é amplamente utilizado em simulações de fluidos, elementos finitos e resolução de equações diferenciais parciais por diferenças finitas.