As grandezas $P_1,P_2, \ldots ,P_n$ são ditas serem diretamente proporcionais a $ v_1, v_2, \dots, v_n $ quando valem as igualdades:
$$\frac{P_1}{v_1}= \frac{P_2}{v_2}= \cdots = \frac{P_n}{v_n}=k$$
para alguma constante real $k$, chamada de constante de proporcionalidade.
De onde segue que $$P_i= k v_i, i=1,2,\ldots, n.$$

Assim, quando dividimos $ V $ em partes diretamente proporcionais a $ v_1, v_2, \dots, v_n $, cada parte $P_i $ é calculada de forma que:
\[
P_i = k \cdot v_i. \quad (1)
\]

A constante $k$ é a constante de proporcionalidade, também é dada por:
\[
k = \frac{V}{v_1 + v_2 + \dots + v_n}
\]
pois somando as igualdades (1), obtemos
$$ \sum_{i=1}^n P_i= V= k \sum_{i=1}^n v_i. $$
De onde segue o resultado.
Voltando em (1), obtemos que cada $P_i$ é dado por
$$ P_i = \frac{V}{v_1+v_2+\cdots+v_n}v_i, i=1,2, \ldots, n.$$

Clique aqui para ver exemplos e usar a calculadora que divide uma quantia em partes diretamente proporcionais e também em partes inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais.