Doherty Andrade
- Introdução
A idéia básica da teoria das séries de Fourier é
representar uma dada função $2L$-periódica como uma série
trigonométrica $$\frac{2}{a_0}+\sum^{\infty}_{n=1}\left[a_n\cos(\frac{n
\pi x}{L})+\sin(\frac{n\pi x}{L})\right].$$
Fourier, em sua famosa teoria do calor, publicada em $1822$, faz a
primeira tentativa para provar que uma função arbitrária
$2L$-periódica é igual a uma série trigonométrica particular, que
passou a ser chamada “série de Fourier de $f$”. Mesmo antes de
Fourier muitos matemáticos estiveram ligados ao problema dessa
representação. Acredita-se que Euller, por volta de $1777$, já
conhecesse os coeficientes $a_n$ e $b_n$. Bernoulli, D’Alembert e
Lagrange são outros que estudaram esse problema.
A afirmação de Fourier sobre a representação de $f$ por uma série
trigonométrica particular é falsa. A justificativa da afirmação de
Fourier se baseou em propriedades de duvidosa validade, sendo
algumas claramente falsas. Isto provavelmente tenha ocorrido
devido ao desconhecimento do conceito atual de funções. Não há
duvidas que a surpreendente afirmação de Fourier tenha levantado
algumas questões polêmicas e de que a discussão contribuiu para o
avanço da Matemática. Dirichlet, usando o conceito atual de
função, foi o primeiro a dar, em 1829, uma condição suficiente
para a validade da representação em séries. Em 1876 du
Bóis-Reymond deu o primeiro exemplo de uma função contínua cuja
série de Fourier diverge em um ponto. Esse exemplo foi melhorado
posteriormente e du Bóis-Reymond apresentou uma função contínua
cuja série de Fourier diverge em $E\subset [0,2\pi]$, com a
medida de $E$ positiva. Isto prova que Fourier estava enganado
sobre a validade da representação em séries.
Novos exemplos surgiram. Kolmogorov define em 1926 uma função
$f\in L^1([0,2\pi]),$ cuja série diverge em todo ponto. Katznelson
em 1964, mostra que dado qualquer conjunto $E\subset [0,2\pi]$ com
$m(E)=0$ existe uma função $f$ contínua em $[0,2\pi]$ cuja série
de Fourier diverge em $E.$
Depois do teste de Weil, que afirma que para uma sequência real
$(w_n)$ não monótona decrescente, se
$$\sum^{\infty}_{n=1}(a^2_n+b^2_n)w_n<\infty $$ então a série de Fourier de $f$ converge quase sempre para $f$, o que passou a ser o objeto das atenções, o problema da representação em séries deveria ser discutido a partir daqui. Pierre Fatou provou em 1906 que $w_n=n, n\geq 1, $ satisfaz ao teste de Weil. Em 1909, Weil melhorou esse resultado, provando que $w_n=n^{1/3}$ ainda satisfaz o teste que leva seu nome. Em 1913, Hobson, Plancherel e Hardy, independentemente, mostraram que pode-se tomar, respectivamente, $w_n=n^\e,\,\e>0; w_n=\log^3 n$ e $w_n=\log^2 n.$ Neste mesmo ano, Lusin afirmou que para toda $f\in L^2([-\pi,\pi]),$ a série de
Fourier de $f$ converge quase sempre para $f$. Esta afirmação sem
demonstração, baseou-se em fortes evidências que Lusin encontrou
em seus estudos, mas não foi capaz de provar. Em 1925, Kolmogorov
e Silverstov, e independentemente Plessner, mostraram que
$W_n=\log n $ ainda satisfaz o teste de Weil. Finalmente, em 1966,
Carleson prova a afirmação de Lusin. Em 1968 Hunt prova que a
afirmação de Lusin é verdadeira, também para toda $f \in
L^P([-\pi,\pi]),1<p<\infty$. Em 1973, C. Feffermann dá outra
demonstração para o Teorema de Carleson-Hunt. Taibleson e G.Weiess
em 1982, estenderam o teorema para espaços mais gerais que
$L^p$.