Como calcular áreas usando o Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão importante entre derivação e integração, permitindo calcular áreas sob curvas de forma precisa.

O Teorema

Se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e \(F\) é uma primitiva de \(f\), então:

\[ \int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a) \]

Aplicação no cálculo de áreas

Para calcular a área entre uma curva \(y = f(x)\) e o eixo \(x\) no intervalo \([a,b]\):

\[ A = \int_a^b |f(x)|dx \]

Quando a função é positiva no intervalo, a área é simplesmente:

\[ A = \int_a^b f(x)dx \]

Exemplo prático

Calcule a área sob a curva \(f(x) = x^2\) entre \(x = 0\) e \(x = 2\):

\[ A = \int_0^2 x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]

Baixe nosso material complementar sobre cálculo de áreas entre curvas

O Teorema Fundamental do Cálculo transforma problemas complexos de área em cálculos algébricos simples, demonstrando a elegância e poder do cálculo integral.