Prof. Doherty Andrade

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Os números de Pell são números semelhantes aos números de Fibonacci, são gerados pela fórmula abaixo da seguinte forma:

$$P_n = 2 P_{n-1} + P_{n-2} $$
com sementes $P_0 = 0$ e $P_1 = 1$.

Os primeiros números de Pell são 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, ….

A equação de Pell é uma equação diofantina da forma
$$ x^2-dy^2=1$$
onde $d$ é um inteiro positivo não quadrátrico.

A solução fundamental para a equação de Pell é um par $(x,y)$ de inteiros satisfazendo a equação onde $x$ e $y$ são minimais e positivos.

Existe sempre uma solução para esta equação: a solução trivial $(1,0)$. Esta não é contada.

Teorema: as soluções inteiras e positivas da equação de Pell são precisamente os pares $(x_n,y_n)$ que satisfazem

$$ x_n+y_n\sqrt{d}= (x_1+y_1\sqrt{d})^n.$$

Por exemplo, para $d=2$, temos
$$x_1+y_1\sqrt{2} = 3+2\sqrt 2$$
$$x_2+y_2\sqrt{2} = 17+12\sqrt 2$$
$$x_3+y_3\sqrt{2} = 99+70\sqrt 2$$
$$x_4+y_4\sqrt{2} = 577+408\sqrt 2$$

Por exemplo, para $d=3$, temos
$$x_1+y_1\sqrt{3} = 2+1\sqrt 3$$
$$x_2+y_2\sqrt{3} = 7+4\sqrt 3$$
$$x_3+y_3\sqrt{3} = 26+15\sqrt 3$$
$$x_4+y_4\sqrt{3} = 97+56\sqrt 3.$$

Muitas propriedades possuem as equações de Pell e seus números. Clique aqui para continuar lendo o arquivo em pdf e ver os meus códigos em Python sobre esse assunto.