Considere uma partícula de massa \(m\) sendo arrastada sobre um plano horizontal áspero por meio de uma corda de comprimento constante \(a\), mantida tensa, cuja extremidade livre se move ao longo do eixo \(x\). A curva descrita pela partícula é chamada de tractriz.

Esta formulação mecânica foi primeiramente estudada e resolvida por James Bernoulli em 1691, marcando um importante desenvolvimento no estudo das curvas especiais.

Suponha que a extremidade móvel da corda esteja no ponto \((x_0, 0)\) e a partícula esteja no ponto \((x, y)\). Como a corda tem comprimento constante \(a\), temos:
$$ \sqrt{(x – x_0)^2 + y^2} = a.$$

A direção da força de arrasto,e portanto, da tangente à curva é sempre ao longo da corda. Assim, a inclinação da tangente é:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x – x_0}.$$

Combinando estas duas equações e eliminando \(x_0\), obtemos a equação diferencial da tractriz:
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{a^2 – y^2}}.$$

Resolvendo esta equação diferencial, chegamos à representação paramétrica clássica:

\begin{cases}
x(t) = a \left( \ln \left( \tan \frac{t}{2} + \frac{\pi}{4} \right) – \sin t \right) \\
y(t) = a \cos t
\end{cases}

para \(0 , \pi \).

Propriedades Notáveis:

A tractriz tem <strong>curvatura constante</strong> em relação ao parâmetro de comprimento de arco.
É a evoluta da catenária.
A superfície de revolução gerada pela tractriz é a pseudosfera,modelo de geometria hiperbólica.

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