Doherty Andrade -www.metodosnumericos.com.br

1.Introdução

A conjectura abc é uma afirmação matemática sobre a qual não se sabe ser verdade ou ser falsa. Não se conseguiu até agora demonstrar este resultado ou refutá-lo. Se for um resultado verdadeiro será muito útil para abordar problemas importantes na teoria dos números. Por exemplo, usar o computador para determinar a solução de equações diofantinas por meio de busca sistemática.

Em geral, chama-se equação diofantina uma equação com coeficientes inteiros cujas soluções devem ser números inteiros. O exemplo mais conhecido de equação diofantina é o teorema de Pitágoras que afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou em símbolos $a^2+b^2=c^2$. A solução mais conhecida é $a = 3, b = 4$ e $c = 5$, uma vez que 9 + 16 = 25. Existem infinitas soluções, chamadas ternos pitagóricos.

Outro exemplo famoso de equação diofantina, está relacionado ao último teorema de Fermat, que afirma que não existem soluções inteiras para a equação diofantina $a^n+b^n= c^n$, com $n>2$ inteiro.

Sabe-se, no entanto, de um teorema muito famoso , que nos diz que a maioria das equações diofantinas tem um número finito de soluções ou não tem nenhuma. Sendo assim, todas as soluções podem ser encontradas usando um método de busca sistemática. Inicia-se testando com números pequenos e acabará encontrando todas as soluções desde que se conheça um limite superior para as soluções. É aqui que entra a conjectura $abc$.

O teorema fundamental da Aritmética afirma que todo número inteiro pode ser fatorado como um produto de números primos. Por exemplo, o número 60 pode ser fatorado como $2 \times 2\times 3 \times 5 = 2^2\times 3\times 5$.

A conjectura $abc$ afirma que para três números tais que $a + b = c,$ se os números $a$ e $b$ têm fatores primos pequenos, diferentes entre $a$ e $b$, então o número $c$ terá algum fator primo muito grande.

Vejamos um exemplo: tomemos $a=2^3 3^4 5^{12}$ , $b= 3^45^{11}7^{15}$ e $c = 3^4 5^{11} 59 (80467144237)$ já fatorados em fatores primos . Note que $$c= 3^4 5^{11} 59 (80467144237),$$ como podemos ver, há um número primo grande comparado com os primos presentes em $a$ e $b$.

2. A polêmica

Desde que foi formulada, na década de 1980, muito tem se falado sobre como sua validade implicaria em uma revolução no campo da teoria dos números. Além é claro que um feito que entraria para a história.

A surpresa foi grande quando em agosto de 2012 começou a circular a notícia de que a conjectura $abc$ havia finalmente sido demonstrada. O matemático autor do feito era o japonês Shinichi Mochizuki, da Universidade de Kyoto, no Japão, considerado uma das mentes mais brilhantes de sua geração.

A demonstração apresentada em quatro artigos acadêmicos totalizando cerca de 500 páginas foram publicados no próprio site de Mochizuki. A tão esperada demonstração, agora estava disponível a qualquer pessoa, que estivesse maturidade matemática para compreendê-la. Rapidamente os matemáticos perceberam que nem todo mundo conseguiria entender. Ela foi escrita em um estilo completamente enigmático o que era estranho para para os padrões rigorosos da matemática. Foi classificada pela revista científica Nature como “impenetrável”.

Ninguém conseguia entender a demonstração, e portanto, não poderia ser verificada.

Foto: Universidade de Kyoto

Após 5 anos estudiosos de peso ao redor do mundo começaram a se manifestarem publicamente, entre eles outro gênio da área, o jovem alemão Peter Scholze. Em entrevista exclusiva à revista Quanta, Scholze e seu colega Jakob Stix afirmaram que a demonstração continha um erro “sério e insolúvel”, e que a conjectura $abc$ permanecia portanto em aberto.

Agora o mundo matemático está dividido entre aqueles que acreditam que há um erro na demonstração e aqueles que defendem o gênio da matemática Michizuki.

Aguardemos o desenrolar desta história. Esperamos por novidades em breve.