Doherty Andrade
1, Introdução
Problemas de Cauchy ou problemas de valor inicial são problemas de equações diferenciais do tipo
\begin{cases}\frac{dx}{dt}= f(t,x)\cr x(t_0)= x_0.\end{cases}
O caso mais simples deste problema é quando $f:\Omega \rightarrow R$ é contínua e $\Omega\subset R \times R^n$ é um aberto.
Neste caso, temos o teorema de Peano que garante a existência de uma solução em algum intervalo contendo $t_0$.
Para garantir a unicidade de solução outras hipóteses são necessárias além da continuidade de $f$. Por exemplo, aqui $f$ é contínua e\begin{cases}\frac{dx}{dt}= \sqrt{x}\cr x(0)= 0\end{cases} tem duas soluções: $x_1(t) \equiv 0$ e $$x_2(t)=\begin{cases} -\frac{x^2}{4}, \mbox{ se } x \leq 0\cr \frac{x^2}{4}, \mbox{ se } x \geq 0\end{cases}$$
Portanto, em espaços mais gerais a situação é bem mais complicada. Em espaços de dimensão infinita precisamos de adicionar à continuidade de $f$ algum tipo de compacidade porque a perda da compacidade é a principal razão para a não existência de solução.
2. Caso geral
É natural procurar por condições sobre $f$ que sejam suficientes que garantam a existência de solução. Como exemplo, veja o teorema de Picard em espaços de Banach.
Se $$ \Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert \leq k \Vert x-y\Vert,(t_0,x_0) \in I \times \Omega,$$ para algum $0\leq k<1$ então existe um intervalo aberto $J$ contendo $t_0$ e $\varphi: J \rightarrow E$ satisfazendo $(t,\varphi(t)) \in \Omega$, que é solução PVI acima.