Doherty Andrade
\section{Introdução}
Se $X \subset \R$ denotamos por $\mathcal{F}(X,\R)$ a coleção de
todas as funções $f:X\rightarrow \R$. Por $\mathcal{C}(X,\R)$
denotamos a coleção de todas as funções $f\in \mathcal{F}(X,\R)$
contínuas. De modo análogo, $\mathcal{C}^1(X,\R)$ denota a coleção
de todas as funções $f\in \mathcal{C}(X,\R)$ com primeira derivada
contínua.
Convergência pontual: Seja $(f_k)$ uma sequência de funções de $\mathcal{F}(X,\R)$ e $x_0
\in X$. Dizemos que $(f_k)$ converge pontualmente (ou simplesmente)
em $x_0$, se a sequência numérica $(f_k(x_0))$ é convergente em
$\R$. Dizemos que $(f_k)$ converge pontualmente (ou simplesmente)
em $X$, se para todo $x \in X$ a sequência numérica $(f_k(x))$ é
convergente em $\R$.
Pela unicidade do limite, se a sequência $(f_k)$ converge
pontualmente em $X$, podemos definir a função limite $f:X
\rightarrow \R$ dada por $f(x)= \lim_{n \to \infty} f_n(x)$.
Assim, dizemos que a sequência $(f_k)$ converge pontualmente para $f$,
se para todo $x \in X, f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)$.
Isto é,
$$ \forall x \in X, \forall \epsilon>0, \exists k_0 \hbox{ tal que se
} k\geq k_0 \hbox{ então } \vert f_k(x)-f(x) \vert < \epsilon.$$
Notação: $f_n \stackrel{p}\rightarrow f$ em $X$.
O conceito de convergência pontual tem defeitos: pode não
transferir para a função limite as boas propriedades das funções
$f_k$ da sequência. Por isso é necessário introduzir outra noção de
convergência.
Consideremos a seguinte sequência de funções
$$ f_k(x)= \cases{0, \hbox{ se } x \leq 0,\cr
kx, \hbox{ se } x \in [0, \frac 1k),\cr 1,\hbox{ se } x \geq \frac
1k.}$$ Notamos que as funções $f_k$ são contínuas, além disso a
sequência converge pontualmente para a função $f$ descontínua em
$x=0$ dada por:
$$ f(x)= \begin{cases}0, \hbox{ se } x \leq 0,\cr
1,\hbox{ se } x >0.\end{cases}$$
Consideremos a seguinte sequência de funções
$$ f_k(x)= \lim_{j\to \infty} \left[ \cos(k!\pi x) \right]^{2j}, x\in [0,1].$$
É fácil ver que $$f_k(x)=\begin{cases}1, \hbox{ se } x =
\frac{1}{k!},\frac{2}{k!}, \ldots,1 ,\cr 0, \hbox{ caso
contrário}.\end{cases} $$ Podemos mostrar que a sequência converge pontualmente
para a função
$$ f(x)= \cases{1, \hbox{ se $x$ é racional},\cr
0,\hbox{ se $x$ é irracional}}.$$
Portanto, as funções $f_k$ são Riemann integráveis, mas a função limite $f$
não é Riemann integrável.
Mesmo que a função limite seja integrável, pode não ocorrer a
conservação no valor limite das integráveis. De fato, a sequência de
funções $f_k(x)=\displaystyle\frac{x}{k^2} \hbox{e}^{-\frac{x}{k}}$
converge pontualmente para a função $f\equiv 0$ enquanto
$\displaystyle\int_0^\infty\displaystyle\frac{x}{k^2}
\hbox{e}^{-\frac{x}{k}}dx=1, \forall k \in \N$ não pode convergir
para o valor zero.
Continuidade uniforme: Dizemos que a sequência $(f_k)$ converge uniformemente para $f:X\rightarrow \R$,
se $$\forall \epsilon>0, \exists k_0 \hbox{ tal que se } k\geq k_0
\hbox{ então } \vert f_k(x)-f(x) \vert < \epsilon, \forall x \in
X.$$
Notação: $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$ em $X$.
Uma consequência imediata é que convergência uniforme implica em
convergência pontual: se $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$ então $f_n
\stackrel{p}\rightarrow f$.
A sequência de funções dada por
$$ f_k(x)= \displaystyle\sqrt{ x^2+\frac{1}{k}}, x\in [-1,1]$$
converge uniformente $ f(x)= |x|$.
A sequência de funções dada por $ f_k(x)= x^k $ converge
pontualmente para $$ f(x)= \begin{cases}0, \hbox{ se } x\in [0,1),\cr
1,\hbox{ se } x=1\end{cases},$$ mas não converge uniformemente para $f$.
Pode-se provar que a convergência uniforme preserva as boas propriedades de sequências de funções.
\begin{thm} Seja $(f_n)$ uma sequência de funções de $\mathcal{F}(X,\R)$
contínuas em $x_0 \in X\cap X’$. Se $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$,
então $f$ é contínua em $x_0$.\end{thm}
De fato, dado $\epsilon>0$, pela convergência uniforme existe $k_0$
natural tal que se $k\geq k_0$
$$|f_k(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3}, \forall x \in X.$$ Tomando $k\geq k_0$ temos da continuidade de $f_{k}$ que existe $\delta >0$ tal que se $x\in X$ e $|x-x_0|<\delta$ então
$$|f_k(x)-f_k(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}.$$
Pela desigualdade triangular, podemos escrever:
$$ |f(x)-f(x_0)|\leq | f(x)-f_k(x)| +| f_k(x)-f_k(x_0)|+ | f_k(x_0)-f(x_0)|$$
$$< \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon. $$
Logo, $\vert f(x)-f(x_0)\vert <\epsilon. $
O que mostra que $f$ é contínua em $x_0$.
Podemos concluir que limite uniforme de funções contínuas é função
contínua. É o que diz o seguinte corolário imediato.
Corolário: Seja $(f_n)$ uma sequência de funções de $\mathcal{F}(X,\R)$
contínuas em $X$. Se $f \stackrel{u}\rightarrow f$, então $f$ é
contínua em $X$.
(a) A sequência de funções $f_n(x)=x^n, x\in [0,1]$ converge
pontualmente para a função $$f(x)=\displaystyle\begin{cases}0, \hbox{ se } x\in [0,1)\cr 1, \hbox{ se } x=1\end{cases}.$$ Mas não converge uniformemente, se assim fosse $f$ teria que ser contínua.
(b) A sequência de funções $f_n(x)=x^n(1-x^n), x\in [0,1]$ não
converge uniformemente para $f\equiv 0$. Pois cada $f_n$ assume o
valor máximo igual a $\frac 14$ no ponto $x_n=
\sqrt[n]{\frac{1}{2}}$.
(c) A sequência de funções $f_n(x)=\di\frac{\sin(nx)}{n^2}, x\in
[0,1]$ converge uniformemente para $f\equiv 0$. Pois dado
$\epsilon>0$, tomemos $N$ natural tal que $N^2> \frac{1}{\epsilon}$.
Assim, para $n>N$ temos
$$\vert f_n(x)-f(x) \vert = \left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq
\frac{1}{n^2}<\epsilon, \forall x\in [0,1].$$
(d) A sequência de funções $f_n(x)=\di\frac{2x}{1+nx}, x\in [0,1]$
converge uniformemente para $f\equiv 0$.
(e) A sequência de funções $f_n(x)=\frac{nx^2}{1+nx}, x\in [0,1]$
converge uniformemente para $f(x)=x$.
Dos exemplos acima, podemos concluir imediatamente um resultado
muito útil.
Corolário: Seja $f_n:[a,b]\rightarrow \R$ uma sequência de funções
contínuas. Então, $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$ se, e somente se,
$M_n= \max{|f_n(x)-f(x)|; x\in [a,b] } \to 0$, quando $n \to
\infty.$
\begin{thm}[Dini] Seja $K \subset \R$ compacto e $f_n: K
\rightarrow \R$ uma sequência de funções contínuas tal que
$f_{n+1}(x) \leq f_n(x), \forall x \in K$ (ou $f_{n+1}(x) \geq
f_n(x), \forall x \in K$). Se $f_n \stackrel{p}\rightarrow f$ e $f:K
\rightarrow \R$ é contínua, então $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$.
\end{thm}
A sequência de funções contínuas $f_n(x)=\di\frac{nx^2}{1+nx}, x\in
[0,1]$ converge pontualmente para a função contínua $f(x)=x$. Além
disso, $f_{n+1}(x) \leq f_n(x), \forall x \in [0,1]$. Segue do
Teorema de Dini que $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$.
\begin{thm} \label{teor10.7} Seja $f_n:[a,b]\rightarrow \R$ uma sequência de funções integráveis tal que $f_n \stackrel{u}\rightarrow f$, onde
$f:[a,b]\rightarrow \R$. Então, $f$ é também integrável e
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx = \int_a^b f(x)dx. $$
\end{thm}
O exemplo a seguir mostra que embora $f_n \stackrel{u}\rightarrow
f$, não é verdade que $f’_n \stackrel{u}\rightarrow f’$. Tome
$f_n(x)= \di\frac{\sin(nx)}{n}$, temos que $f_n
\stackrel{u}\rightarrow f\equiv 0$, mas $f’_n
\stackrel{u}\rightarrow f’\equiv 0.$
\begin{thm} Seja $(f_n)$ uma sequência de funções de
$\mathcal{C}^1([a,b],\R)$. Suponha que converge $f_ n\stackrel{u}\rightarrow g$, onde $g:[a,b] \rightarrow \R$, e que existe $x_0 \in [a,b]$ tal que $ (f_n(x_0))$ converge para $c \in \R$. Então, $f_n\stackrel{u}\rightarrow G$, onde $G$ é uma primitiva de $g$. \end{thm}
Muitos resultados demonstrados para sequências de funções podem ser
facilmente aplicados ao estudo de convergência de séries de funções.
\section{Séries de funções}
Consideremos funções $f_n:X\rightarrow \R$ e a série de funções
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$. Dizemos que a série
converge pontualmente para função $f:X\rightarrow \R$ se a sequência
$(s_n)$ das somas parciais converge pontualmente para $f$, onde
$s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nf_k(x)$.
De modo análogo, a série converge uniformemente para $f$ se a
sequência das somas parciais $(s_n)$ converge uniformemente para
$f$.
Já provamos o critério de Cauchy para sequências. Este critério pode
ser também aplicado a convergência de séries:
\begin{thm}[Cauchy] Consideremos funções $f_n:X\rightarrow \R$. A série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$
converge uniformemente em $X$ se, e somente se, existe $k_0$ natural
tal que se $m,n \geq k_0$ então
$$ \left| \sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right| < \epsilon, \forall x \in
X.$$
\end{thm}
Como a sequência $(s_k)$ converge uniformemente se, e somente se,
$(s_k)$ é uniformemente de Cauchy, o resultado segue imediatamente
do teorema Cauchy.
Dizemos que a série de funções $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
f_n(x)$ converge normalmente em $X$ se existem reais não-negativos
$a_n$ tais que $$|f_n(x)| \leq a_n, \forall n, \forall x \in X.$$
satisfazendo $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n< \infty. $
Consideremos as funções $f_n(x)=\di\frac{\sin(nx)}{n^2}, x\in
[0,1]$. A série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ é
normalmente convergente, pois $\vert f_n(x)\vert \leq
\frac{1}{n^2}=a_n$ além disso, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
\frac{1}{n^2}$ é convergente.
\begin{thm}[Weierstrass] Se a série $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ é normalmente convergente em $X$, então $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ e
$\sum_{n=1}^\infty \vert f_n(x) \vert $ são uniformemente convergentes em $X$.
\end{thm}
\section{Séries de potências}
As séries de potências são casos particulares de séries de funções.
Denominamos série de potências em torno do ponto $x_0$ as séries de
funções $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ onde $f_n(x)= a_n(x-x_0)^n.$
As funções $f_n$ são polinômios e portanto,estão definidas para todo
$x \in \R$. A questão que surge é: para quais valores de $x$ a série
de potências converge pontualmente ou uniformemente. Vamos responder
a estas questões.
Para cada $x$ fixado, o teste da raiz nos dá:
(a) se $L=\limsup_{k
\to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}|x-x_0|<1$ a série converge.
(b) se $L=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}|x-x_0|>1$ a série
diverge.
Ao número $R$ definido por
$$ R= \frac{1}{L}=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$$ chamamos de
raio de convergência.
Portanto, a série converge pontualmente (e absolutamente) no
intervalo $(x_0-R, x_0+R)$, com a convenção $R=\infty$ se $L=0$.
A convergência uniforme das séries de potências pode ser obtida pelo
teste de Weierstrass.
\begin{thm}Seja $\sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n$ uma série de
potências em torno de $x_0$ e $X$ um conjunto limitado tal que
$\overline{X}$ esteja contido em $(x_0- R, x_0+R)$, onde $R$ é o
raio de convergência da série. Então, a série converge uniformemente
em $X$.
\end{thm}
Seja $\alpha= \sup{ |x-x_0|; x \in X }$. Segue que $\alpha <R$.
Como $|a_k||x-x_0|^k\leq |a_k|\alpha^k, \forall x \in X$, então
$\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|\alpha}<1.$ Logo, a série
numérica $\sum_{n=1}^\infty a_n\alpha^n$ é convergente e concluímos
a convergência uniforme da série de potências pelo teste de
Weierstrass.
Note que sob as condições do teorema acima, como as funções $s_n(x)
=\displaystyle\sum_{k=1}^nf_k(x)$ são contínuas, segue que a função
definida pela série é contínua, pois é limite uniforme de funções
contínuas.
Provaremos que vale mais do que continuidade. As funções definidas
por séries de potências são infinitamente deriváveis no intervalo de
convergência e suas derivadas são obtidas derivando a série termo a
termo.
\begin{thm}Seja $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ uma série de
potências em torno de $x_0$ com raio de convergência $R$. Seja
$f:(x_0-R,x_0+R) \rightarrow \R$ a função definida pela série de
potências. Então, $f$ é derivável e $f'(x)$ é dada por
$\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}$ e tem o mesmo raio de
convergência $R$.
Resultado análogo para integração.
\end{thm}
De fato, seja
$$ s_k(x)=\sum_{j=0}^k a_j(x-x_0)^j, x\in I_R=(x_0-R,x_0+R),$$
onde $R=\di \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$ e $f$ a
série de potências $\sum_{j=1}^\infty a_j(x-x_0)^j$ ($f$ é o limite
pontual de $s_k$ em $I_R$.) Como $s_k$ é derivável,
$s_k'(x)=\sum_{j=1}^k ja_j(x-x_0)^{j-1},$ e $\limsup_{k \to
\infty}\sqrt[k]{(k+1)|a_{k+1}|}= \limsup_{k \to
\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}= \frac{1}{R},$ segue do teorema acima que
existe $g: I_R \rightarrow \R$ tal que $s_k’ \stackrel{p}\rightarrow
g$ em $I_R$ e $s_k’ \stackrel{u}\rightarrow g$ em todo intervalo $I$
tal que $\overline{I}$ esteja contido em $I_R$. Portanto, pelo
teorema \ref{derivada}, $f$ é derivável e $f’=g$. Como podemos
repetir este argumento ao infinito, temos a conclusão.
Note que $f^{(k)}(x)= \di\sum_{n\geq k}^\infty n(n-1)(n-2)\cdots
(n-k+1))a_n(x-x_0)^{n-k}$ para todo $k\geq 1$ e em particular
$f^{(k)}(x_0)= k(k-1)(k-2)\cdots (1))a_k$. Ou seja,
$a_k=\di\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}.$
Assim, o polinômio $p_n(x)=\di\sum_{k=0}^n a_k(x-x_0)^k$ é o
polinômio de Taylor em torno do ponto $x_0$ da função
$f(x)=\di\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.$
Observe que este resultado permite demonstrar a unicidade na
re-pre-sen-tação em séries de potências. Isto é, se duas séries
de potências são iguais, $\sum_{n=0}^\infty
a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$, então elas representam
a mesma função. De fato, tendo o mesmo raio de convergência, suas
derivadas de todas as ordens são iguais no intervalo de
convergência, e portanto definem a mesma função.
Portanto, se a série de potências $\di\sum_{n=0}^\infty
a_n(x-x_0)^n$ possui raio de convergência $R>0$, então ela é a série
de Taylor, em torno do ponto $x_0$, da função
$f:(x_0-R,x_0+R)\rightarrow \R$ definida pela série.
Algumas séries de Taylor.
\begin{enumerate}
\item Vamos determinar a série de Taylor de $f(z)= \expo{x}$ centrada em
$x=0$. Como $f^{(n)}(0)= 1, \forall n$ segue que $\expo{x}$ tem a
série de Taylor dada por $\di\sum_{0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
\item Consideremos a função $f(x)= \di\frac{1}{1-x}$. Por sucessivas
derivações obtemos
$$f^{(n)}(x)= \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}.$$
Se $x=0$, obtemos $f^{(n)}(0)= n!$ e assim temos
$$ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^\infty x^n.$$
\item Se quisermos a série de Taylor da função $f(x)=
\di\frac{1}{1-x}$ centrada em $x=-1$, basta calcular as derivas
$f^{(n)}(-1).$ Como $$f^{(n)}(-1)=\frac{n!}{(1+1)^{n+1}},$$ usando o
teorema da fórmula de Taylor temos
$$ \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^\infty\frac{( x+1)^n}{(1+1)^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{( x+1)^n}{2^{n+1}},$$
para $|x+1|<1.$
\item A série de Taylor de $f(x)=\di \frac{1}{x}$ como potências de
$(x-1)$. Novamente, por sucessivas derivações obtemos
$$f^{(n)}(x)= \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}},$$
portanto, $f^{(n)}(1)= (-1)^n n!$.
Segue que $\di \frac{1}{x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(x-1)^n,$ para
$|x-1|<1.$
\end{enumerate}
Algumas funções e suas séries de
Taylor centradas em $x=0$.
\begin{itemize}
\item $\di \expo{x}= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
\item $\di \cos(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$
\item $\di \sin(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}.$
\item $\di \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.$
\end{itemize}
\section{Aplicações}
(1) Cálculo de integrais: Avaliar a $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx$. Veja o gráfico a seguir. Note que a função $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ é contínua em toda reta real, em particular em $x=0$.
$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx\approx \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{x}\left[ \frac{x }{1}- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} \right] dx$$
$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx\approx\int_{-\pi}^\pi \left[ 1- \frac{x^2}{3!}+ \frac{x^4}{5!} -\frac{x^6}{7!} \right] dx$$
$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx\approx \left[ x- \frac{x^3}{2!}+ \frac{x^5}{4!} -\frac{x^7}{6!}\right]_{-\pi}^\pi \approx 3.687 .$$
(2) Solução de EDOs: para exemplificar vamos tomar o PVI simples dado por \begin{cases} y^\prime -y =0\cr y(0)=1.\end{cases}
Vamos supor que a solução seja dada em forma de uma série de potências $$y(x)= \sum_{k=0}^\infty a_kx^k.$$
Como $y(0)=1$, segue que $a_0=1.$
Supondo $x$ dentro do raio de convergência, podemos derivar a série: $$y^\prime (x)= \sum_{k=1}^\infty k a_kx^{k-1}.$$ Substituindo na EDO, obtemos:
$$ (a_0+a_1)+(a_1+2a_2)x+ (a_2+3a_3)x^2+\cdots + (a_{n-1}+ na_n)x^{n-1} +\cdots =0.$$
De onde segue que $a_1=1, a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{6}, a_4= \frac{1}{4!}$, e em geral, $a_k=\frac{1}{k!}.$
Segue que $y(x) =\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!},$ sendo portanto $y(x)= \mbox{e}^x.$
Referências
[1] D. G. de Figueiredo, Análise de Fourier e
equações diferenciais parciais. Projeto Euclides, (1997).
[2] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis.
Holt, Reinehart and Winston, Inc., 1970.
[3] M. H. Protter e C. B. Morrey. A first course in Real Analysis. Springer, 1977.