Doherty Andrade
A transformada de Laplace de uma função $f$ é dada pela transformação
integral definida por
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) \mbox{e}^{-st} \mathrm{d}s.$$
Talvez a maior aplicação desta transformação integral é na resolução de
problemas de valor inicial, pois ela destroi derivadas.
As condições suficientes para a existência de $\mathcal{L}{f}$ são:
\begin{enumerate}
\item $f$ é contínua por partes e;
\item $f$ ser de ordem exponential.
\end{enumerate}
Então, existe um real $\alpha$ tal que $$
\int_0^\infty \mbox{ e}^{-st}f(t)dt,$$ converge para todos os valores de
$s>\alpha.$
Uma importante propriedade utilizada em EDOs é:
$$ {\cal L}\{ f^\prime\} = {\cal L}[f] – f(0^+), \,\,\mbox{se}\,\,\ f^\prime \in {\cal E}$$
Do mesmo modo, $$ {\cal L} \{f^{\prime \prime} \}=s^2 {\cal L}[f] –
sf(0^+)-f^{\prime}(0^+) ,\,\,\,\mbox{se}\,\,\ f^{\prime \prime}
\in {\cal E}.$$
Agora vamos utilizar as propriedades do operador ${\cal L}$ para
obter solu\c c~oes de algumas EDO’s simples.
Considere o PVI dado por \begin{eqnarray}
&& y^{\prime\prime} – y =1,\
&& y(0)=0,\,\,\,y^\prime(0)=1. \end{eqnarray}
Aplicando ${\cal L}$ a
equa\c c~ao obtemos
$${\cal L}[y^{\prime\prime}]- {\cal L}[y]= {\cal L}[1].$$
Usando as propriedades (ver tabela abaixo) obtemos
$$s^2{\cal L}[y]-1 -{\cal L}[y]= \frac{1}{s}.$$
Logo,
$${\cal L}[y]= \frac{1}{s(s-1)}= \frac{1}{s-1}- \frac{1}{s}.$$
Novamente usando as propriedades temos que
$${\cal L}[y]= {\cal L}[\exp(t)]-{\cal L}[1]= {\cal L}[\exp(t)-1],$$
de onde segue que
$$y(t)= \exp(t)-1.$$
Veja a seguir uma tabela com algumas funções e suas transformadas de Laplace.
Clique aqui para baixar texto introdutório sobre a transformada de Laplace.