Prof. Doherty Andrade
Os métodos iterativos para obtenção de solução de sistemas de equações lineares são
baseados no teorema do ponto fixo de Banach. Assim, dado um
sistema quadrado de equações lineares $Ax=b,$ a ideia central é
reescrevê-lo numa forma equivalente $x=Tx+c$. Se $T$ for uma
contração, então para qualquer aproximação inicial $x^{(0)}$ a
sequência gerada por $\displaystyle x^{(k+1)}=\displaystyle Tx^{(k)}+c, k \geq 0$
converge para a única solução do sistema $Ax=b$.
Como é o método de Gauss-Jacobi? Dado um sistema quadrado
$𝐴𝑥=𝑏$ escrevemos $𝐴$ como uma soma de duas matrizes separadas:
$𝐴=𝐷+𝑅$, onde $𝐷$ é matriz composta pela diagonal de $𝐴$ e $𝑅$ a matriz restante.
O método iterativo de Gauss-Jacobi aproxima a solução $x$ por uma sequência de vetores $x^{(k)}$ dada por
$$𝑥^{(𝑘+1)}=𝐷^{-1}(𝑏−𝑅𝑥^{(𝑘)}),𝑘≥0.$$
Note que $𝑥^{(0)}$ deve ser fornecido para o método começar. Em geral, tomamos $𝑥^{(0)}$ como sendo o vetor nulo.
Aplicando o método iterativo de Gauss-Jacobi para resolver sistemas $Ax=b$, independentemente do chute inicial, converge para a única solução do sistema se a matriz $A$ satisfaz ao critério de Linhas. Caso contrário, nada podemos garantir.
Este script resolve iterativamente um sistema de equações lineares $Ax=b$ utilizando o método de Gauss-Jacobi.
Você precisa entrar com a matriz $A$, o vetor $b$ e o número $N$ de iterações.
Se desejar pode entrar com o chute inicial.
Veja o procedimento em Python.
