1. Introdução
A regra de Cramer é um dos métodos diretos de resolução de sistemas de equações lineares mais conhecidos. Embora, bastante restritivo pois na sua aplicação exige-se matriz quadrada com determinante não nulo, desempenha um papel importante dentro dessa teoria. Neste trabalho apresentamos uma demonstração bastante elementar o teorema de Cramer. A demonstração utiliza apenas propriedades dos determinantes e matrizes. A regra de Cramer é devido a Gabriel Cramer (1704 –1752) que publicou este resultado em 1750.
2. Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equações lineares $Ax=b$.
Suponha que $A$ seja uma matriz $n \times n$ invertível, portanto $\det(A)\neq 0$, e sejam $x=(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ e $b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ são elementos do $\mathbb{R}^n$.
A regra de Cramer apresenta a solução do sistema por $$x_i= \frac{\det(M_i)}{\det(A)},i=1,2,\ldots, n$$ onde $M_i$ é a matriz obtida de $A$ pela substituição da $i$-ésima coluna pelo vetor coluna $b$.
Vamos demonstrar este resultado. Como $\det(A) \neq 0$, $Ax=b$ tem uma única solução que é $x=A^{-1}b$. Seria suficiente obter $A^{-1}$ utilizando o método de eliminação de Gauss e em seguida obter a solução $x$. Mas Cramer foi além disso, utilizou propriedades de determinates e matrizes para obter a solução.
Vamos iniciar a nossa demonstração estabelecendo alguma notação. Vamos denotar por $a_i$ a
$i$-ésima coluna de $A$, $i=1,2\ldots, n$. Por $e_i$ vamos denotar
o $i$-ésimo vetor da base canônica, ou equivalentemente, a
$i$-ésima coluna da matriz indentidade $I_{n}$. Seja $X_i$ a
matriz obtida de $I_{n}$ pela substituição da $i$-ésima coluna
pelo vetor coluna $x$.
Sabemos que no produto de matrizes, a $k$-ésima coluna de $AB$ é o
exatamente o produto de $A$ pela $k$-ésima coluna de $B$. Note também que $Ae_k=a_k$ para $k=1,\ldots,n$, a $k$-ésima coluna de $A$.
Assim, por multiplicação, temos que:$$AX_i = \left[Ae_1,\ldots,Ae_{i-1},Ax,Ae_{i+1},\ldots,Ae_n\right] $$
$$AX_i = \left[a_1,\ldots,a_{i-1},b,a_{i+1},\ldots,a_n\right] $$
$$AX_i = M_i.$$
Isto prova que $AX_i=M_i$.
Como $X_i$ é a matriz $I_n$ com a $i$-ésima coluna substituída por $x$,
calculando o determinante de $X_i$ por cofatores, temos:
$$\det(X_i) = (-1)^{(i+i)} x_i \det(I_{n-1}) = 1 \cdot x_i \cdot 1 = x_i.$$
Logo, $$\det(M_i) = \det(AX_i) = \det(A) \det(X_i) = \det(A) x_i.
$$
Segue que
$$
\displaystyle x_i = \frac{\det(M_i)}{\det(A)}, i=1,2,\ldots, n.$$
Exemplo
Consideremos o sistema de equações lineares
$$\begin{cases}2x_1+x_2+x_3=3\cr
x_1-x_2-x_3=6\cr x_1+2x_2+x_3=2.
\end{cases}
$$
Primeiramente, escreva as matrizes $M_i,i=1,2,3$, onde cada
coluna $i$ de $A$ é substituída por $b$.
Calculando os determinantes:
$$\det(A)=3, \det(M_1)=9 , \det(M_2)=6, \det(M_3)=-15. $$
Segue que a solução é: $x_1=3, x_2= 2 , x_3=-5.$
De fato, $$x_1=\frac{\det (M_1)}{\det (A)} = \frac{9}{3}=3,$$ $$x_2=\frac{\det (M_2)}{\det (A)} = \frac{6}{3}=2,$$ e $$x_3=\frac{\det (M_3)}{\det (A)} = \frac{-15}{3}=-5.$$
3. Conclusão
O Cálculo de determinantes pela definição, não é
computacionalmente eficiente, pois exige muito tempo de máquina.
Portanto, a utilização da regra de Cramer para resolver
sistemas de equações lineares não é computacionalmente bom. É
adequado apenas para sistemas de pequeno porte. Pode-se provar
que o número de operações necessárias para resolver um sistema de
$n$ equações e $n$ variáveis, pela regra de Cramer, é igual a
$n(n+1)!-1$. Ou seja, cresce muito rapidamente com $n$. Mas sua importância como ferramenta teórica da Matemática é inegável. É também um importante resultado que deve ser explorado no Ensino Fundamental e Médio.
Referências
- ANDRADE, D. Geometria Analítica. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
- S. D. CONTE, Elementary Numerical Analysis . MacGraw-Hill, 1965.
- CRAMER, Gabriel. Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Geneva: Europeana. pp. 656 –659.
- BOYER, Carl B. A History of Mathematics . 2nd ed., 1968 . Wiley.