1. Introdução
A regra de Cramer é um dos métodos diretos de resolução de sistemas de equações lineares mais conhecidos. Embora, bastante restritivo na sua aplicação (exige matriz quadrada com determinante não nulo), desempenha um papel importante dentro dessa teoria. Neste trabalho apresentamos uma demonstração bastante elementar o teorema de Cramer. A demonstração utiliza apenas propriedades dos determinantes e matrizes. A regra de Cramer é devido a Gabriel Cramer (1704 –1752) que publicou este resultado em 1750. Veja \cite{5}.
2. Regra de Cramer
Consideremos o sistema de equações lineares $Ax=b$. Suponha que
$A$ seja uma matriz $n \times n$ invertível (portanto,
$\det(A)\neq 0$) e $x=(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ e $b=(b_1,b_2,\ldots,
b_n)$ são elementos do $\mathbb{R}^n$. A regra de Cramer apresenta
a solução do sistema por
$$x_i= \frac{\det(M_i)}{\det(A)},i=1,2,\ldots, n$$
onde $M_i$ é a matriz obtida de $A$ pela substituição da $i$-ésima
coluna pelo vetor coluna $b$.
Vamos demonstrar este resultado. Como $\det(A) \neq 0$, $Ax=b$ tem
uma única solução que é $x=A^{-1}b$. Seria suficiente obter $A^{-1}$ utilizando o método de eliminação de Gauss e em seguida obter a solução $x$. Mas Cramer foi além disso, utilizou propriedades de determinates e matrizes para obter a solução.
Vamos iniciar a nossa demonstração estabelecendo alguma notação. Vamos denotar por $a_i$ a
$i$-ésima coluna de $A$, $i=1,2\ldots, n$. Por $e_i$ vamos denotar
o $i$-ésimo vetor da base canônica, ou equivalentemente, a
$i$-ésima coluna da matriz indentidade $I_{n}$. Seja $X_i$ a
matriz obtida de $I_{n}$ pela substituição da $i$-ésima coluna
pelo vetor coluna $x$.
Sabemos que no produto de matrizes, a $k$-ésima coluna de $AB$ é o
exatamente o produto de $A$ pela $k$-ésima coluna de $B$. Note
também que $Ae_k=a_k$ para $k=1,\ldots,n$, a $k$-ésima coluna de
$A$.
Assim, por multiplicação, temos que:
$$AX_i = \left[Ae_1,\ldots,Ae_{i-1},Ax,Ae_{i+1},\ldots,Ae_n\right] $$
$$AX_i = \left[a_1,\ldots,a_{i-1},b,a_{i+1},\ldots,a_n\right] $$
$$AX_i = M_i.$$
Isto prova que $AX_i=M_i$.
Como $X_i$ é a matriz $I_n$ com a $i$-ésima coluna substituída por $x$,
calculando o determinante de $X_i$ por cofatores, temos:
$$\det(X_i) = (-1)^{(i+i)} x_i \det(I_{n-1}) = 1 \cdot x_i \cdot 1 = x_i.$$
Logo, $$\det(M_i) = \det(AX_i) = \det(A) \det(X_i) = \det(A) x_i.
$$
Segue que
$$
\displaystyle x_i = \frac{\det(M_i)}{\det(A)}, i=1,2,\ldots, n.$$
Exemplo
Consideremos o sistema de equações lineares
$$\begin{cases}2x_1+x_2+x_3=3\cr
x_1-x_2-x_3=6\cr x_1+2x_2+x_3=2.
\end{cases}
$$
Primeiramente, escreva as matrizes $M_i,i=1,2,3$, onde cada
coluna $i$ de $A$ é substituída por $b$.
Calculando os determinantes:
$$\det(A)=3, \det(M_1)=9 , \det(M_2)=6, \det(M_3)=-15. $$
Segue que a solução é: $x_1=3, x_2= 2 , x_3=-5.$
De fato, $$x_1=\frac{\det (M_1)}{\det (A)} = \frac{9}{3}=3,$$ $$x_2=\frac{\det (M_2)}{\det (A)} = \frac{6}{3}=2,$$ e $$x_3=\frac{\det (M_3)}{\det (A)} = \frac{-15}{3}=-5.$$
3. Conclusão
O Cálculo de determinantes pela definição, não é
computacionalmente eficiente, pois exige muito tempo de máquina.
Portanto, a utilização da regra de Cramer para resolver
sistemas de equações lineares não é computacionalmente bom. É
adequado apenas para sistemas de pequeno porte. Pode-se provar
que o número de operações necessárias para resolver um sistema de
$n$ equações e $n$ variáveis, pela regra de Cramer, é igual a
$n(n+1)!-1$. Ou seja, cresce muito rapidamente com $n$, veja\cite{3}. Mas sua importância como ferramenta teórica da Matemática é inegável. É também um importante resultado que deve ser explorado no Ensino Fundamental e Médio.
Referências
- ANDRADE, D. Geometria Analítica. 2. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
- S. D. CONTE, Elementary Numerical Analysis . MacGraw-Hill, 1965.
- CRAMER, Gabriel. Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Geneva: Europeana. pp. 656 –659.
- BOYER, Carl B. A History of Mathematics . 2nd ed., 1968 . Wiley.