Otimização com 1 variável

O Que é Otimização em Uma Variável?

A otimização em uma variável é uma das aplicações mais práticas do cálculo diferencial. Através dela, podemos encontrar valores máximos e mínimos de funções, resolvendo problemas do mundo real em áreas como:

✅ Economia: Maximização de lucros e minimização de custos
✅ Engenharia: Otimização de designs e processos
✅ Ciências: Modelagem de fenômenos naturais
✅ Negócios: Tomada de decisões estratégicas

Os Conceitos Fundamentais

📌 Pontos Críticos

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. São os candidatos a máximos e mínimos locais.

f'(x) = 0 ou f'(x) não existe

🔍 Teste da Derivada Primeira

Analise o sinal da derivada antes e depois do ponto crítico:

Se f'(x) muda de + para – → Máximo local
Se f'(x) muda de – para + → Mínimo local

📊 Teste da Derivada Segunda

Use a concavidade para classificar os pontos críticos:

Se f''(x) < 0 → Máximo local
Se f''(x) > 0 → Mínimo local
Se f''(x) = 0 → Teste inconclusivo

📝 Exemplo Prático: Caixa de Volume Máximo

Problema: Uma folha de papelão de 20 cm × 30 cm tem quadrados cortados nos cantos para formar uma caixa sem tampa. Qual o tamanho do quadrado que maximiza o volume?

Solução Passo a Passo:

Função Volume:
V(x) = x(20 – 2x)(30 – 2x)
V(x) = 4x³ – 100x² + 600x
Derivada:
V'(x) = 12x² – 200x + 600
Pontos Críticos:
12x² – 200x + 600 = 0
x ≈ 3.92 cm ou x ≈ 12.74 cm
Teste da Derivada Segunda:
V”(x) = 24x – 200
V”(3.92) ≈ -105.92 < 0 → MÁXIMO

🎯 Resposta Final: Cortando quadrados de 3.92 cm, obtemos a caixa com volume máximo de ≈1056 cm³.