Verificador de CPF, ISBN-13 e Cartões de Crédito
Compreenda o funcionamento da aritmética modular e uma de suas aplicações práticas
Neste artigo explicamos como verificar se o número de um dado CPF, um código ISBN-13 ou um número de cartão de crédito é válido. A verificação desses números usa diferentes maneiras de aplicar a aritmética de módulo 10 ou módulo 11.
A aritmética de módulo \(m\), onde \(m\) é um natural maior ou igual a 2, é feita com os restos da divisão por \(m\). Como exemplo, exploramos a aritmética e as tabelas de operações de \(\mathbb{Z}_8\).
O que é Aritmética Modular?
A aritmética modular, também conhecida como “aritmética do relógio”, é um sistema matemático onde os números “voltam” após atingir um certo valor, chamado de módulo. Vamos explorar a aritmética módulo 8, onde trabalhamos com os números de 0 a 7, pois quando dividimos um numero natural por 8 os possíveis restos são 0,1,2,3,4,5,6 e 7.
Conceito Básico
Na aritmética módulo 8, dois números são considerados equivalentes se sua diferença é um múltiplo de 8. Formalmente:
Exemplos:
- \(10 \equiv 2 \pmod{8}\) porque \(10 – 2 = 8\), que é múltiplo de 8
- \(15 \equiv 7 \pmod{8}\) porque \(15 – 7 = 8\), que é múltiplo de 8
- \(24 \equiv 0 \pmod{8}\) porque \(24 – 0 = 24\), que é múltiplo de 8
Conjunto de Resíduos
O conjunto completo de resíduos módulo 8 é:
Qualquer número inteiro pode ser reduzido a um desses valores através da operação de módulo:
Operações Aritméticas
Adição Módulo 8
A adição módulo 8 é definida como:
Exemplos:
- \(5 +_8 6 = (5 + 6) \mod 8 = 11 \mod 8 = 3\)
- \(7 +_8 3 = (7 + 3) \mod 8 = 10 \mod 8 = 2\)
Tabela de Adição Módulo 8
| +₈ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Multiplicação Módulo 8
A multiplicação módulo 8 é definida como:
Exemplos:
- \(5 \times_8 6 = (5 \times 6) \mod 8 = 30 \mod 8 = 6\)
- \(7 \times_8 3 = (7 \times 3) \mod 8 = 21 \mod 8 = 5\)
Tabela de Multiplicação Módulo 8
| ×₈ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
| 6 | 0 | 6 | 4 | 2 | 0 | 6 | 4 | 2 |
| 7 | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Propriedades
Elemento Neutro
- Adição: 0 é o elemento neutro, pois \(a +_8 0 = a\) para todo \(a\)
- Multiplicação: 1 é o elemento neutro, pois \(a \times_8 1 = a\) para todo \(a\)
Elementos Inversos
Inverso Aditivo
Para cada elemento \(a\), existe um inverso aditivo \(b\) tal que \(a +_8 b = 0\):
| a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -a | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Inverso Multiplicativo
Um elemento \(a\) tem inverso multiplicativo módulo 8 se existir \(b\) tal que \(a \times_8 b = 1\).
Observando a tabela de multiplicação, apenas os números coprimos com 8 têm inverso multiplicativo:
- 1 (inverso: 1)
- 3 (inverso: 3, pois \(3 \times_8 3 = 9 \mod 8 = 1\))
- 5 (inverso: 5, pois \(5 \times_8 5 = 25 \mod 8 = 1\))
- 7 (inverso: 7, pois \(7 \times_8 7 = 49 \mod 8 = 1\))
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