O método de Newton-Raphson é um dos melhores métodos numéricos pra resolver equanções nao lineares: $$f(x)=0.$$ A sua velocidade de convergência é 2. Embora ele utilize a derivada da $f$.

A sua extensão para sistemas não lineares para sistemas não lineares 2 por 2
$$\begin{cases} f(x,y)=0\cr g(x,y)=0\end{cases}$$
é fácil e foi implementada aqui usando JS.
No código a seguir vc poderá explorar vários exemplos ou entrar com o seu próprio exemplo. O código gera um gráfico para facilicitar a escolha do chute inicial e gera também a tabela com as aproximações.

Veja exemplos clicando aqui. O método de Newton-Raphson para sistemas 2 por 2