Existem Apenas 5 Poliedros Regulares

Um poliedro regular, ou sólido platônico, é um poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições:

1. Todas as faces são polígonos regulares congruentes.
2. Em todos os vértices chegam o mesmo número de arestas.
3. Todas as arestas são congruentes.

Neste post, demonstraremos que existem apenas 5 poliedros regulares possíveis no espaço euclidiano tridimensional e ilustramos cada um deles.

Fórmula de Euler para Poliedros Convexos

A Fórmula de Euler relaciona o número de vértices $V$, arestas $A$ e faces $F$ de um poliedro convexo:

$$ V – A + F = 2. $$

Restrições para Poliedros Regulares

Sejam:

• $p$ = número de lados de cada face. Note que todas as faces são p-gonos regulares.
• $q$ = número de arestas que incidem em cada vértice.

Como cada aresta pertence a duas faces e a dois vértices, temos:

Relações Básicas

1. Faces e Arestas:
   \[ pF = 2A \quad \Rightarrow \quad F = \frac{2A}{p} \]
2. Vértices e Arestas:
   \[ qV = 2A \quad \Rightarrow \quad V = \frac{2A}{q} \]

Substituindo na Fórmula de Euler

Substituindo \(V\) e \(F\) na Fórmula de Euler:

$$
\frac{2A}{q} – A + \frac{2A}{p} = 2
$$

Dividindo ambos os lados por \(2A\):

$$
\frac{1}{q} – \frac{1}{2} + \frac{1}{p} = \frac{1}{A}
$$

Como \(A > 0\), temos:

$$
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}
$$

Possibilidades para $p$ e $q$

Como $p \geq 3 $ e $q \geq 3$, pois um polígono tem pelo menos 3 lados, e pelo menos 3 arestas devem incidir em um vértice para formar um ângulo sólido, as únicas combinações que satisfazem $$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}$$ são:

Por que não existem outras possibilidades?

• Se $p \geq 6$ e $q \geq 3$: $$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$$ (viola a desigualdade).
• Se $q \geq 4$ e $p \geq 4$: $$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$ (também não satisfaz).

Lista dos 5 Poliedros Regulares

1. Tetraedro: 4 faces triangulares $p=3$, 3 arestas por vértice $q=3$.
2. Octaedro: 8 faces triangulares $p=3$, 4 arestas por vértice $q=4$.
3. Icosaedro: 20 faces triangulares $p=3$, 5 arestas por vértice $q=5$.
4. Cubo (Hexaedro): 6 faces quadradas $p=4$, 3 arestas por vértice $q=3$.
5. Dodecaedro: 12 faces pentagonais $p=5$, 3 arestas por vértice $q=3$.

Conclusão

A combinação da Fórmula de Euler com as restrições geométricas $p \geq 3$, $q \geq 3$ e $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}$ mostra que apenas 5 poliedros regulares podem existir no espaço euclidiano tridimensional.

Clique aqui para visualizar os 5 poliedros de Platão.Poliedros regulares.