Aproximação por Mínimos Quadrados

Prof. Doherty Andrade –www.metodosnumericos.com.br

Introdução A interpolação polinomial pode não ser confiável para pontos das regiões próximas aos extremos do intervalo e para pontos fora do intervalo do ajuste realizado por causa da grande oscilação dos polinômios. E isso aumenta com o grau do polinômio, efeito Runge. Surge, então a necessidade de um outro enfoque. Um enfoque é o método de ajuste por meio de mínimos quadrados.

A questão que se coloca agora é: desejamos ajustar aos dados $(x_1,y_1), (x_2,y_2),\ldots, (x_m,y_m)$, onde $y_i=f(x_i)$, uma função do tipo $$\phi(x)= \alpha_1 g_1(x) + \alpha_2 g_2(x) + \ldots + \alpha_n g_n(x),\,\, m \geq n,$$ onde as funções $g_1,g_2, \cdots, g_n$ são conhecidas em função do comportamento dos dados.

Assim, devemos determinar os coeficientes $\alpha_i=1,2,\ldots,n$ da função $\phi$ tais que $$\vert f(x_k)- \phi(x_k)\vert^2 ,k=1,2,\ldots,m$$ seja mínimo.

Portanto, devemos minimizar a função $$E(\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n)= \sum_{k=1}^m \vert f(x_k)- \phi(x_k)\vert^2,$$ que é uma função de $n$ variáveis $\alpha_i, i=1,2,\ldots, n.$ Isto é um problema de otimização.

Como $E$ é quadrática e não negativa, o ponto de mínimo global de $\phi$ é o ponto crítico de $E$. Para determinar os pontos críticos de $E$ é necessário determinar os pontos tais que $$\frac{\partial E}{\partial \alpha_j}=0,j=1,2,\ldots,n.$$

Para ilustrar a teoria, vamos tratar do caso particular de ajustar aos dados uma reta.

2. Caso particular: reta

Neste caso, desejamos ajustar aos dados $ (x_1,y_1), (x_2,y_2),\ldots, (x_m,y_m)$, onde $y_i=f(x_i)$, uma função do tipo $$\phi(x)= \alpha_1 g_1(x) + \alpha_2 g_2(x),$$ onde as funções $g_1(x)=1,g_2(x)=x$ são dadas. Assim, devemos determinar os coeficientes $\alpha_1,\alpha_2$ da função $\phi$ tais que $$\vert f(x_k)- \phi(x_k)\vert^2 ,k=1,2, \ldots, n$$ seja mínimo.

Portanto, devemos minimizar a função $$E(\alpha_1,\alpha_2)= \sum_{k=1}^m \vert f(x_k)- \phi(x_k)\vert^2,$$ que é uma função de 2 variáveis $\alpha_i, i=1,2.$

Assim, para cada $j=1,2$ temos que $$0 = \frac{\partial E}{\partial \alpha_j}= 2 \sum_{k=1}^m \left[ f(x_k)-\phi(x_k)\right](g_j(x_k)),$$ que é um sistema de equações lineares:

$$\sum_{k=1}^m \left[ f(x_k)-\phi(x_k)\right] g_j(x_k)=0,j=1,2.$$

Reescrevendo e colocando os coeficientes em evidência, temos:

Para simplificar, vamos usar a seguinte notação, por $\overline{g_i}$ representaremos o vetor em $\mathbb{R}^m$ dado por $$\overline{g_i}= (g_i(x_1), g_i(x_2),\ldots, g_i(x_m)),i=1,2.$$ Notação análoga para $f$:

$$\overline{f}= (f(x_1), f(x_2),\ldots, f(x_m)).$$

Assim, podemos escrever na forma matricial:

Note que após usar as funções $g_1$ e $g_2$, o sistema acima pode ser escrito como:

em que $m$ é a quantidade de pontos.

Muitas calculadoras possuem rotina para determinar a reta $y=\alpha_1+\alpha_2x$ que melhor se ajusta aos dados pelo método dos mínimos quadrados, os termos do sistema acima são facilmente apresentados, pois todos os valores presentes no sistema podem ser calculados diretamente pela sua calculadora. Se a sua calculadora tiver a opção de apresentar $r^2$, quanto mais próximo de 1 melhor a qualidade da aproximação.

3. Exemplo 1
Dados os pares $(x_i,y_i)$ abaixo aproxime esses dados por uma reta,

\begin{matrix}x_i \vert & -1 & -0.75& -0.5 & -0.25 & 0 & 0.25 & 0.5& 0.75& 0.9& 1 &1.5\\ \hline y_i \vert & 3 & 3.5& 4 & 4.5& 5& 5.5& 6& 6.5& 6.8& 7& 8\end{matrix}

Como queremos aproximar $f(x)$ por uma reta $\alpha_0 +\alpha_1 x $, as funções são $g_1(x)=1$ e $g_2(x)=x$.

Escrevendo o sistema acima:

A resolução deste sistema linear resulta nos valores: