A Queda do Paraquedista

Passo 1: Equação Diferencial do Movimento

O movimento é descrito pela equação:

\[ m \frac{d^2y}{dt^2} + k \frac{dy}{dt} = -mg \]

Substituindo os valores:

\[ 75 \frac{d^2y}{dt^2} + 15 \frac{dy}{dt} = -75 \times 9.8 \]

\[ 75 \frac{d^2y}{dt^2} + 15 \frac{dy}{dt} = -735 \]

Passo 2: Simplificação da Equação

Dividindo toda a equação por 75:

\[ \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{15}{75} \frac{dy}{dt} = -\frac{735}{75} \]

\[ \frac{d^2y}{dt^2} + 0.2 \frac{dy}{dt} = -9.8 \]

Onde \( \alpha = \frac{k}{m} = \frac{15}{75} = 0.2 \, \text{s}^{-1} \)

Passo 3: Solução da Equação Homogênea

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:

\[ \frac{d^2y}{dt^2} + 0.2 \frac{dy}{dt} = 0 \]

A equação característica é:

\[ r^2 + 0.2r = 0 \]

\[ r(r + 0.2) = 0 \]

Com raízes \( r_1 = 0 \) e \( r_2 = -0.2 \)

A solução homogênea é:

\[ y_h(t) = C_1 + C_2 e^{-0.2t} \]

Passo 4: Solução Particular

Como o termo não homogêneo é constante, procuramos uma solução particular constante:

\[ y_p(t) = A \]

Substituindo na equação original:

\[ 0 + 0.2 \times 0 = -9.8 \]

Isso não funciona. Precisamos de uma solução particular da forma:

\[ y_p(t) = At \]

Derivando: \( y_p' = A \), \( y_p'' = 0 \)

Substituindo:

\[ 0 + 0.2A = -9.8 \]

\[ A = -49 \]

Portanto, \( y_p(t) = -49t \)

Passo 5: Solução Geral

A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular:

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 + C_2 e^{-0.2t} - 49t \]

Passo 6: Aplicação das Condições Iniciais

Primeira condição: \( y(0) = 2000 \)

\[ 2000 = C_1 + C_2 e^{0} - 49 \times 0 \]

\[ C_1 + C_2 = 2000 \quad (1) \]

Derivando para obter a velocidade:

\[ v(t) = \frac{dy}{dt} = -0.2 C_2 e^{-0.2t} - 49 \]

Segunda condição: \( v(0) = 0 \)

\[ 0 = -0.2 C_2 e^{0} - 49 \]

\[ -0.2 C_2 = 49 \]

\[ C_2 = -245 \quad (2) \]

Substituindo (2) em (1):

\[ C_1 - 245 = 2000 \]

\[ C_1 = 2245 \]