Coordenadas Polares
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas
Mais Exercícios
Teoria, Exemplos e Exercícios Resolvidos
Considere a transformação \( g : (0, \infty) \times [0, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida por \[g(r, \theta) = (x, y), \] onde \( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \).
A aplicação \( g \) é uma aplicação bijetora e é chamada de transformação de coordenadas polares. Para cada ponto \( P \) no plano com coordenadas cartesianas \((x, y)\), a aplicação acima associa um par ordenado, \((r, \theta)\), chamado de coordenadas polares do ponto \( P \).
Seja \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \). Seja \[D \subset (0, \infty) \times [0, 2\pi], \text{ e } E = g(D),\] onde \( g \) é a transformação de coordenadas polares. Se \( f \) é integrável sobre \( E \), então \( f \circ g \) é integrável sobre \( D \) e \[\iint_{E} f(x,y) \, dx \, dy = \iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \, dr \, d\theta.\]
Vamos calcular \[\iint_{D} (x^2 + y) \, d(x,y)\] onde \( D \) é a região anular situada entre os dois círculos \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \).
//incluir figuraPela figura, é claro que se escrevermos \[E = \{(r, \theta) \mid 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq 2\pi\},\] então \( g(E) = D \), onde \( g \) é a transformação de coordenadas polares. Assim \[\iint_{D} (x^2+y) \, d(x,y) = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2} (r^2 \cos^2 \theta + r \sin \theta) r \, dr \, d\theta \\ = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{1}^{2} \left( r^3 \cos^2 \theta + r^2 \sin \theta \right) dr \right) d\theta \\ = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{15}{4} \cos^2 \theta + \frac{7}{3} \sin \theta \right] d\theta \\ = \frac{15\pi}{4}.\]
Seja \( a > 0, b > 0 \), e \[D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}. \]
Seja \[f(x, y) = y^2 \text{ para } (x, y) \in D. \]
Para calcular \[\iint_D f(x, y) \, d(x, y),\]
fazemos a mudança de variáveis para coordenadas polares generalizadas \[x := g_1(r, \theta) := a r \cos \theta \quad \text{e} \quad y := g_2(r, \theta) := b r \sin \theta.\]
O Jacobiano desta transformação \(g = (g_1, g_2)\) é dado por
\[J(r, \theta) = \det \begin{pmatrix} a \cos \theta & -a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta \end{pmatrix} = r ab (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r a b.\]
Se definirmos \[E = \{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq 2\pi\} = [0, 1] \times [0, 2\pi],\]
então \(g(E) = D\), e pela fórmula de mudança de variáveis,
\[\iint_D f(x, y) \, d(x, y) = \iint_E \left( b r \sin \theta \right)^2 r a b \, dr \, d\theta\] \[= \int_0^1 \left[ \int_0^{2\pi} a b^3 r^3 \sin^2 \theta \, d\theta \right] dr\] \[= \int_0^1 a b^3 r^3 \pi \, dr\] \[= \frac{a b^3 \pi}{4}.\]
Usando coordenadas polares, encontre o volume do sólido \(D\) limitado acima pelo hemisfério \[z = \sqrt{16 - x^2 - y^2}\] e abaixo pelo disco no plano \(xy\) \[x^2 + y^2 \leq 4.\]
Passo 1: Identificar a região de integração
O sólido é limitado superiormente pelo hemisfério \(z = \sqrt{16 - x^2 - y^2}\) (raio 4) e inferiormente pelo disco \(x^2 + y^2 \leq 4\) (raio 2).
Passo 2: Configurar a integral em coordenadas polares
Em coordenadas polares, \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(dA = rdrd\theta\).
O volume é dado por:
Passo 3: Resolver a integral em \(r\)
Fazendo substituição: \(u = 16 - r^2\), \(du = -2rdr\), \(rdr = -\frac{1}{2}du\)
Quando \(r = 0\), \(u = 16\); quando \(r = 2\), \(u = 12\)
Passo 4: Resolver a integral em \(\theta\)
\[V = \frac{2\pi}{3} (64 - 24\sqrt{3}) = \frac{128\pi}{3} - 16\pi\sqrt{3}\]
Usando a fórmula de mudança de variáveis para coordenadas polares, encontre para cada \( r > 0 \): \[I(r) := \iint_{D(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y),\] onde \[D(r) = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq r^2\}.\]
Passo 1: Converter para coordenadas polares
Em coordenadas polares: \(x^2 + y^2 = r^2\), \(dA = rdrd\theta\)
Passo 2: Separar as integrais
Passo 3: Resolver a integral em \(r\)
Fazendo substituição: \(u = r^2\), \(du = 2rdr\), \(rdr = \frac{1}{2}du\)
Passo 4: Obter o resultado final
\[I(r) = \pi (1 - e^{-r^2})\]
Parte (ii): Mostrar que \(\lim_{r \to \infty} I(r) = \pi\)
Parte (iii): Calcular a integral no quadrante
Para \(D^+(r) = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq r^2, x \geq 0, y \geq 0\}\), temos \(\theta\) de 0 a \(\pi/2\):
Portanto, \(\lim_{r \to \infty} \iint_{D^+(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y) = \frac{\pi}{4}\)
Um ponto \( P(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \) também pode ser descrito em termos de coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\), onde \((r, \theta)\) são as coordenadas polares do ponto da projeção de \(P\) sobre o plano \(xy\). Assim \[0 \leq r < \infty, 0 \leq \theta < 2\pi \text{ e } z \in \mathbb{R}.\]
Estas coordenadas estão relacionadas với as coordenadas cartesianas pelas relações:
\[x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z.\]
A transformação \[ g(r, \theta, z) = (x, y, z) \] é chamada de transformação de coordenadas cilíndricas. Se \( g(E) = D \), então pela fórmula de mudança de variáveis, como \( J(r, \theta, z) = r \), temos
\[\iiint_D f(x, y, z) \, d(x, y, z) = \iiint_E (f \circ g)(r, \theta, z) |J(r, \theta, z)| \, d(r, \theta, z)\] \[= \iiint_E (f \circ g)(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz\]
Esta mudança de variável é útil quando o domínio \( D \) é de natureza esférica ou cilíndrica.
Encontre o volume do sólido \(D\) cortado da esfera \[x^2 + y^2 + z^2 = 1\] pelo cilindro \[x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4.\]
Figura: Região \( D \) em coordenadas esféricas
O volume requerido é \[\iiint_D 1 \, dv\]
Em coordenadas cilíndricas, \( D \) pode ser descrito por \[E = \{ (r, \theta, z) | r = \sin \theta, 0 \leq \theta < \pi, -\sqrt{1 - r^2} \leq z \leq \sqrt{1 - r^2} \}\]
Assim, \[\iiint_D dv = \int_0^{\pi} \int_0^{\sin \theta} \int_{-\sqrt{1 - r^2}}^{\sqrt{1 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta\] \[= 2 \int_0^{\pi} \int_0^{\sin \theta} r \sqrt{1 - r^2} \, dr \, d\theta\] \[= 2 \int_0^{\pi} \left[ -\frac{1}{3} (1 - r^2)^{3/2} \right]_0^{\sin \theta} d\theta\] \[= \frac{2}{3} \int_0^{\pi} (1 - (1 - \sin^2 \theta)^{3/2}) d\theta\] \[= \frac{2}{3} \int_0^{\pi} (1 - \cos^3 \theta) d\theta\] \[= \frac{2}{3} \int_0^{\pi} \left( 1 - \cos \theta + \cos \theta \sin^2 \theta \right) d\theta\] \[= \frac{2}{3} \left[ \theta - \sin \theta + \frac{\sin^3 \theta}{3} \right]_0^{\pi}\] \[= \frac{2}{3} \left( \pi - 0 + 0 \right) = \frac{2\pi}{3}\]
Use coordenadas cilíndricas para avaliar \[\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \int_0^{9-x^2-y^2} x^2 \, dz \, dy \, dx\]
Passo 1: Identificar a região de integração
Os limites de integração descrevem:
Passo 2: Converter para coordenadas cilíndricas
Coordenadas cilíndricas: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\)
Jacobiano: \(r\)
\(x^2 = r^2\cos^2\theta\)
\(9-x^2-y^2 = 9 - r^2\)
Passo 3: Separar e resolver a integral em \(z\)
Passo 4: Separar as integrais
Passo 5: Resolver a integral em \(\theta\)
Usando a identidade: \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\)
Passo 6: Resolver a integral em \(r\)
Passo 7: Combinar os resultados
\[\frac{243\pi}{4}\]
Outra maneira de representar pontos no espaço é através de coordenadas esféricas, \((\rho, \theta, \phi)\), onde para um ponto \(P\) no espaço, \(\rho\) é a magnitude \(OP\), \(\theta\) é o ângulo polar da projeção de \(P\) sobre o plano \(xy\), e \(\phi\) é o ângulo entre a linha \(OP\) e o eixo \(z\) positivo.
As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por
\[x = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad \rho > 0,\] \[y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad 0 \leq \theta < 2\pi,\] \[z = \rho \cos \phi \quad 0 \leq \phi < \pi.\]
Se denotarmos a transformação acima por \(g(\rho, \theta, \phi) = (x, y, z)\), então
\[\left| J_g(\rho, \theta, \phi) \right| = \left| \det \begin{bmatrix} \sin \phi \cos \theta & -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \theta \cos \phi \\ \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta \\ \cos \phi & 0 & -\rho \sin \phi \end{bmatrix} \right| = \rho^2 \sin \phi.\]
Assim, se \(g(E) = D\), então para toda função integrável \(f\) sobre \(D\),
\[\iiint_D f(x, y, z) \, d(x, y, z) = \iiint_E (f \circ g)(\rho, \theta, \phi) \, \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi\]
Vamos encontrar o volume do sólido \( D \) cortado da esfera \[x^2 + y^2 + z^2 = 9\] pelo cone \[z = \sqrt{x^2 + y^2}\]
Em coordenadas esféricas, a equação da esfera é \(\rho = 3\) e a equação do cone é
\[\rho \cos \phi = z = \sqrt{\rho^2 \sin^2 \phi \cos^2 \theta + \rho^2 \sin^2 \phi \sin^2 \theta} = \rho \sin \phi,\]
ou seja, o cone é descrito por \(\tan \phi = 1\) ou \(\phi = \pi/4\). Assim \(D\) pode ser descrito como
\[D = \{ (\rho, \theta, \phi) | 0 \leq \rho \leq 3, 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi/4\}.\]
Portanto, o volume requerido é
\[\iiint_D dv = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4} \int_0^3 \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\] \[= \int_0^{2\pi} \left( \int_0^{\pi/4} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^3 \sin \phi \, d\phi \right) d\theta\] \[= 9 \int_0^{2\pi} \left( \int_0^{\pi/4} \sin \phi \, d\phi \right) d\theta\] \[= 9 \int_0^{2\pi} \left[ -\cos \phi \right]_0^{\pi/4} d\theta\] \[= 9 \int_0^{2\pi} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) d\theta\] \[= 9 (2\pi) \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\] \[= 18\pi \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\]
Use coordenadas esféricas para avaliar \[\iiint_D f(x,y,z) \, dv\] onde \[f(x,y,z) = z^2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\] e \( D \) é o sólido limitado acima pelo hemisfério \( z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} \) e abaixo pelo disco no plano \(xy\) \[x^2 + y^2 \leq 1\]
Passo 1: Identificar a região de integração
A região \(D\) é uma semiesfera de raio 1 centrada na origem, com \(z \geq 0\).
Passo 2: Converter para coordenadas esféricas
Coordenadas esféricas: \(x = \rho\sin\phi\cos\theta\), \(y = \rho\sin\phi\sin\theta\), \(z = \rho\cos\phi\)
\(x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2\)
\(z^2 = \rho^2\cos^2\phi\)
\(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \rho\)
Elemento de volume: \(dV = \rho^2\sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\)
Passo 3: Estabelecer os limites de integração
Para a semiesfera de raio 1:
Passo 4: Montar a integral
Passo 5: Separar as integrais
Passo 6: Resolver cada integral
a) \(\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi\)
b) \(\int_{0}^{1} \rho^5 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}\)
c) \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\phi\sin\phi \, d\phi\)
Fazendo substituição: \(u = \cos\phi\), \(du = -\sin\phi d\phi\)
Quando \(\phi = 0\), \(u = 1\); quando \(\phi = \pi/2\), \(u = 0\)
Passo 7: Combinar os resultados
\[\frac{\pi}{9}\]
Usando coordenadas polares, encontre o volume do sólido \(D\) limitado acima pelo hemisfério \[z = \sqrt{16 - x^2 - y^2}\] e abaixo pelo disco no plano \(xy\) \[x^2 + y^2 \leq 4.\]
(i) Usando a fórmula de mudança de variáveis para coordenadas polares, encontre para cada \( r > 0 \): \[I(r) := \iint_{D(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y),\] onde \[D(r) = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq r^2\}.\]
(ii) Usando (i), mostre que \[\lim_{r \to \infty} I(r) = \pi.\]
(iii) Usando (i), deduza que \[\iint_{D^+(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y) = \frac{\pi (1 - e^{-r^2})}{4},\] onde \[D^+(r) = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq r^2, x \geq 0, y \geq 0\}.\]
Portanto, deduza \[\lim_{r \to \infty} \left( \iint_{D^+(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y) \right) = \frac{\pi}{4}.\]
(iv) Para cada \( r > 0 \), seja \[J(r) := \iint_{Q(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y),\] onde \( Q(r) = \{(x,y) | |x| \leq r, |y| \leq r\} \).
Mostre que \[I(r) < J(r) < I(\sqrt{2}r), \text{ para todo } r > 0.\]
Portanto, deduza que \[\lim_{r \to \infty} J(r) = \pi.\]
Usando coordenadas polares, avalie \[\iint_D \sin \theta \, dA,\] onde \( D \) é a região no primeiro quadrante que está fora do círculo \( r = 2 \) e dentro da cardioide \( r = 2(1 + \cos \theta) \).
Use coordenadas cilíndricas para avaliar \[\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \int_0^{9-x^2-y^2} x^2 \, dz \, dy \, dx\]
Use coordenadas esféricas para avaliar \[\iiint_D f(x,y,z) \, dv\] onde \[f(x,y,z) = z^2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\] e \( D \) é o sólido limitado acima pelo hemisfério \( z = \sqrt{1 - x^2 - y^2} \) e abaixo pelo disco no plano \(xy\) \[x^2 + y^2 \leq 1\]
\[V = \frac{128\pi}{3} - 16\pi\sqrt{3}\]
(i) \(I(r) = \pi (1 - e^{-r^2})\)
(ii) \(\lim_{r \to \infty} I(r) = \pi\)
(iii) \(\lim_{r \to \infty} \iint_{D^+(r)} e^{-(x^2 + y^2)} d(x,y) = \frac{\pi}{4}\)
(iv) \(\lim_{r \to \infty} J(r) = \pi\)
\[\frac{3\pi}{2} + 4\]
\[\frac{243\pi}{4}\]
\[\frac{\pi}{9}\]