O método dos mínimos quadrados cúbico encontra a função cúbica, $y= ax^3+bx^2+cx+d$, que melhor se ajusta a um conjunto de pontos.

Formulação Matemática

Dado um conjunto de \( n \) pontos \( (x_i, y_i),\), queremos encontrar \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \) que minimizem:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - (a x_i^3 + b x_i^2 + c x_i + d)]^2 \]

Solução do Sistema

As equações normais são:

\[ \begin{cases} \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum x_i^3(y_i - a x_i^3 - b x_i^2 - c x_i - d) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum x_i^2(y_i - a x_i^3 - b x_i^2 - c x_i - d) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial c} = -2 \sum x_i(y_i - a x_i^3 - b x_i^2 - c x_i - d) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial d} = -2 \sum (y_i - a x_i^3 - b x_i^2 - c x_i - d) = 0 \end{cases} \]

Que resulta no sistema:

\[ \begin{cases} n \cdot d + \left(\sum x\right) \cdot c + \left(\sum x^2\right) \cdot b + \left(\sum x^3\right) \cdot a = \sum y \\ \left(\sum x\right) \cdot d + \left(\sum x^2\right) \cdot c + \left(\sum x^3\right) \cdot b + \left(\sum x^4\right) \cdot a = \sum xy \\ \left(\sum x^2\right) \cdot d + \left(\sum x^3\right) \cdot c + \left(\sum x^4\right) \cdot b + \left(\sum x^5\right) \cdot a = \sum x^2y \\ \left(\sum x^3\right) \cdot d + \left(\sum x^4\right) \cdot c + \left(\sum x^5\right) \cdot b + \left(\sum x^6\right) \cdot a = \sum x^3y \end{cases} \]

Forma Matricial

O sistema pode ser representado na forma matricial como:

\[ \begin{bmatrix} n & \sum x & \sum x^2 & \sum x^3 \\ \sum x & \sum x^2 & \sum x^3 & \sum x^4 \\ \sum x^2 & \sum x^3 & \sum x^4 & \sum x^5 \\ \sum x^3 & \sum x^4 & \sum x^5 & \sum x^6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d \\ c \\ b \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y \\ \sum xy \\ \sum x^2y \\ \sum x^3y \end{bmatrix} \]