O método dos mínimos quadrados quadrático encontra a melhor parábola $y= ax^2+bx+c$ que se ajusta a um conjunto de pontos.

Formulação Matemática

Dado um conjunto de \( n \) pontos \((x_i, y_i)\), queremos encontrar \( a \), \( b \) e \( c \) que minimizem:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - (a x_i^2 + b x_i + c)]^2 \]

Solução do Sistema

As equações normais são:

\[ \begin{cases} \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum x_i^2(y_i - a x_i^2 - b x_i - c) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum x_i(y_i - a x_i^2 - b x_i - c) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial c} = -2 \sum (y_i - a x_i^2 - b x_i - c) = 0 \end{cases} \]

Que resulta no sistema:

\[ \begin{cases} n \cdot c + \left(\sum x\right) \cdot b + \left(\sum x^2\right) \cdot a = \sum y \\ \left(\sum x\right) \cdot c + \left(\sum x^2\right) \cdot b + \left(\sum x^3\right) \cdot a = \sum xy \\ \left(\sum x^2\right) \cdot c + \left(\sum x^3\right) \cdot b + \left(\sum x^4\right) \cdot a = \sum x^2y \end{cases} \]

Forma Matricial

O sistema pode ser representado na forma matricial como:

\[ \begin{bmatrix} n & \sum x & \sum x^2 \\ \sum x & \sum x^2 & \sum x^3 \\ \sum x^2 & \sum x^3 & \sum x^4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ b \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y \\ \sum xy \\ \sum x^2y \end{bmatrix} \]