O método dos mínimos quadrados linear determina reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. É, portanto, um problema de otimização.

Formulação Matemática

Dado um conjunto de \( n \) pontos \((x_i, y_i), x_i < x_{i+1}\), queremos encontrar \( a \) e \( b \) que minimizem a função \(S\): \[ S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - (a x_i + b)]^2 \]

Como \( S\) é uma função quadrática positiva, o seu ponto crítico é um ponto de mínimo absoluto. Devemos investigar então quando grad$S = 0$ :

Solução do Sistema

As equações normais são:

\[ \begin{cases} \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum x_i(y_i - a x_i - b) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} \]

Que resulta no sistema:

\[ \begin{cases} a \sum x_i^2 + b \sum x_i = \sum x_i y_i \\ a \sum x_i + b n = \sum y_i \end{cases} \]

Forma Matricial

O sistema pode ser representado na forma matricial como:

\[ \begin{bmatrix} n & \sum x \\ \sum x & \sum x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y \\ \sum xy \end{bmatrix} \]

Fórmulas Diretas

Os coeficientes podem ser calculados por:

\[ a = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} \] \[ b = \frac{\sum y - a \sum x}{n} \] Podemos obter as soluções usando a regra de Cramer: \[ \begin{bmatrix} n & \sum x \\ \sum x & \sum x^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum y \\ \sum xy \end{bmatrix} \] Solução pela Regra de Cramer . Determinante Principal (\( D \)) : \[ D = \begin{vmatrix} n & \sum x \\ \sum x & \sum x^2 \end{vmatrix} = n \sum x^2 - \left( \sum x \right)^2 \] Cálculo de \( a \) : Substitui-se a \textbf{segunda coluna} pelo vetor de termos independentes: \[ D_a = \begin{vmatrix} n & \sum y \\ \sum x & \sum xy \end{vmatrix} = n \sum xy - \sum x \sum y \] \[ a = \frac{D_a}{D} = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - \left( \sum x \right)^2} \] Cálculo de \( b \): Substitui-se a \textbf{primeira coluna} pelo vetor de termos independentes: \[ D_b = \begin{vmatrix} \sum y & \sum x \\ \sum xy & \sum x^2 \end{vmatrix} = \sum y \sum x^2 - \sum x \sum xy \] \[ b = \frac{D_b}{D} = \frac{\sum y \sum x^2 - \sum x \sum xy}{n \sum x^2 - \left( \sum x \right)^2} \] Simplificação de \( b \): Alternativamente, \( b \) pode ser expresso em função de \( a \): \[ b = \frac{\sum y - a \sum x}{n}. \]