A função logarítmica

Prof. Doherty Andrade

A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Isto é, se temos que $a^x=b$ e se conhecemos $a$ e $b$, qual é o valor de $x$? A função logarítmica responde essa pergunta.

Por exemplo, qual é o valor de $x$ na equação $2^x=8$? Fácil, né? A resposta é 3. Assim, dizemos que $\log_{2}8 =3$.

Outro exemplo, qual é o valor de $x$ na equação $3^x=81$? A resposta é 4. Assim, dizemos que $\log_{3}81 =4$.

Definição

Vamos dar a definição matemática da função logaritmo. Mais precisamente, dados os números reais e positivos $a$ e $b$, com $a \neq 1$, o logaritmo de $b$ na base $a$ é o número real $x$ tal que $a^x =b$.

Isto é, usando o símbolo $\log$ para a função logaritmo, escrevemos:

$$\log_ab= x \Leftrightarrow a^x=b.$$

O número $b$ é chamado de logaritmando.

O logaritmo natural, representado por \(\ln(x)\), é o caso especial onde a base \(a = \mbox{e}\).

Observação

Observe que pela definição de logaritmo, a função logarítmica só está definida para \(x > 0\). Além disso, ela é crescente se a base \(a > 1\) e decrescente se \(0 < a < 1\).

Exemplos

Exemplo 1

Determine $\log_2(32)$.

Se $\log_2(32)=x$, então devemos determinar $x$ tal que $2^x= 32$. Como $32= 2^5$, então temos que $2^x= 2^5$ e, portanto, $x=5$. Segue que $$\log_2(32)= 5.$$

Exemplo 2

\( f(x) = \log_2(x) \)

Esta é uma função logarítmica crescente, pois a base \(2 > 1\). Use o plotador abaixo e faça o gráfico para verificar.

Exemplo 3

\( g(x) = \log_{0.5}(x) \)

Esta é uma função logarítmica decrescente, pois a base \(0.5\) está entre 0 e 1. Use o plotador abaixo e faça o gráfico para verificar.

Exemplo 4

\( h(x) = \ln(x) \)

Esta é a função logarítmica natural, com base \(\mbox{e} \approx 2.718\).

Plotar Função Logarítmica

Insira os valores abaixo para plotar o gráfico da função \( f(x) = \log_a(x) \):

Calcular Logaritmo

Insira os valores abaixo para calcular \( \log_a(b) \):

Algumas consequências da definição

Uma vez satisfeitas as condições para a existência do logaritmo, temos as seguintes consequências.

1. $\log_a (1) =0$, pois $a^0=1$.

2. $\log_a (a) =1$, pois $a^1=a$.

3. $\log_a (a^n) =n$, pois $a^n=a^n$.

4. $a^{\log_a (n)} =n$, pois $\log_a(n)=m \Rightarrow a^m=n \Rightarrow a^{\log_a(n)}=n$.

5. $\log_a (m) =\log_a(n) \Rightarrow m=n$, pois $a^{\log_a(m)}=n\Rightarrow m=n$.

Propriedades

A seguir as principais propriedades da função logaritmo com exemplos.

1. Relembrando a definição de Logaritmo

Como já vimos, o logaritmo de um número \( b \) na base \( a \) é o expoente \( x \) ao qual se deve elevar \( a \) para obter \( b \):

\[ \log_a(b) = x \iff a^x = b \]

Exemplo: \(\log_2(8) = 3\) porque \(2^3 = 8\).

2. Produto de Logaritmos

O logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos desses números:

\[ \log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c) \]

Exemplo: \(\log_{10}(100 \cdot 10) = \log_{10}(100) + \log_{10}(10) = 2 + 1 = 3\).

3. Quociente de Logaritmos

O logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números:

\[ \log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c) \]

Exemplo: \(\log_{10}\left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10}(1000) - \log_{10}(10) = 3 - 1 = 2\).

4. Potência no Logaritmando

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base:

\[ \log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b) \]

Exemplo: \(\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4 \cdot \log_2(2) = 4 \cdot 1 = 4\).

5. Mudança de Base

Para mudar a base de um logaritmo, utiliza-se a seguinte fórmula:

\[ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \]

Exemplo: \(\log_2(8) = \frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}\).