\( r^2 = a^2 \cos(2\theta) \) - Usando Simetria para Calcular Área
Usando a simetria nos eixos OX e OY:
\[ A = 4 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} r^2 d\theta \] \[ A = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos(2\theta) d\theta \] \[ A = 2a^2 \left[ \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ A = a^2 \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right) \] \[ A = a^2 (1 - 0) = a^2 \]Simetria em OX: \( r(\theta) = r(-\theta) \)
Simetria em OY: \( r(\pi - \theta) = r(\theta) \)
Domínio do 1º quadrante: \( \theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \)
Área total: \( 4 \times \) (Área do 1º quadrante) = \( a^2 \)
A maneira mais familiar de localizar um ponto no plano de coordenadas é especificando suas coordenadas retangulares $(x, y)$ — ou seja, fornecendo sua abscissa $x$ e ordenada $y$ em relação a eixos perpendiculares dados.
Mas em alguns problemas, é mais conveniente localizar um ponto por meio de suas coordenadas polares. As coordenadas polares dão sua posição relativa a um ponto de referência fixo $O$ (o polo) e a um raio dado (o eixo polar) começando em $O$. Neste texto vamos falar sobre o sistema de coordenadas polares.
Por conveniência, começamos com um dado sistema de coordenadas $xy$ fixado. Faremos coincidir a origem do sistema com o polo e o eixo $x$ não negativo como o eixo polar. Dado o polo $O$ e o eixo polar, o ponto $P$ com coordenadas polares $r$ e $\theta$, escrito como o par ordenado $(r, \theta)$, está localizado da seguinte forma:
Primeiro, encontre o lado terminal do ângulo $\theta$, dado em radianos, onde $\theta$ é medido no sentido anti-horário (se $\theta > 0$) a partir do eixo $x$ (o eixo polar) como seu lado inicial. Se $r \geq 0$, então $P$ está no lado terminal deste ângulo à distância $r$ da origem. Se $r < 0$, então $P$ está no raio oposto ao lado terminal à distância $|r| = -r > 0$ do polo. A coordenada radial $r$ pode ser descrita como a distância dirigida de $P$ a partir do polo ao longo do lado terminal do ângulo $\theta$. Assim, se $r$ é positivo, o ponto $P$ está no mesmo quadrante que $\theta$, enquanto que se $r$ é negativo, então $P$ está no quadrante oposto. Se $r = 0$, o ângulo $\theta$ não importa; as coordenadas polares $(0, \theta)$ representam a origem, independentemente do que a coordenada angular $\theta$ possa ser. A origem, ou polo, é o único ponto para o qual $r = 0$.
Coordenadas polares diferem das coordenadas retangulares porque qualquer ponto tem mais de uma representação em coordenadas polares. Por exemplo, as coordenadas polares $(r, \theta)$ e $(-r, \theta + \pi)$ representam o mesmo ponto $P$.
Mais geralmente, este ponto $P$ tem as coordenadas polares $(r, \theta + n\pi)$ para qualquer inteiro par $n$ e as coordenadas $(-r, \theta + n\pi)$ para qualquer inteiro ímpar $n$. Assim, os pares de coordenadas polares
\[ \begin{pmatrix} 2, \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -2, \frac{4\pi}{3} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2, \frac{7\pi}{3} \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad \begin{pmatrix} -2, -\frac{2\pi}{3} \end{pmatrix} \]representam todos o mesmo ponto $P$. As coordenadas retangulares de $P$ são $(1, \sqrt{3})$.
Para converter coordenadas polares em coordenadas retangulares, usamos as relações básicas
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \]Note que
\[ r^2 = x^2 + y^2. \]