Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Fundamentação Teórica

Os métodos iterativos geram uma sequência de vetores $\mathbf{x}^{(k)}$ que, sob certas condições, converge para a solução exata do sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. A forma geral de iteração é $\mathbf{x}^{(k+1)} = T\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{c}$, onde $T$ deve ser uma contração para garantir a convergência dos métodos.

1. Método de Gauss-Jacobi: Utiliza os valores da iteração anterior $(k)$ para calcular todos os novos valores:

$$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)} \right) $$

2. Método de Gauss-Seidel: Utiliza os valores mais recentes disponíveis. Assim que um novo $x_i^{(k+1)}$ é calculado, ele é imediatamente usado no cálculo dos próximos:

$$ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)} \right) $$

Critérios de Convergência: Para garantir que o método convirja, a matriz $A$ deve satisfazer pelo menos um dos seguintes critérios:

• Critério das Linhas (Dominância Diagonal): $\sum_{j \neq i} |a_{ij}| < |a_{ii}|$ para toda linha $i$.
• Critério de Sassenfeld: Calcula valores $\beta_i$ recursivamente. Se $\max(\beta_i) < 1$, o método de Gauss-Seidel (e frequentemente o de Jacobi) converge.