Decomposição LU (Método de Doolittle)

Fundamentação Teórica

A decomposição LU fatora uma matriz $A$ no produto de uma matriz triangular inferior $L$ (com 1s na diagonal) e uma matriz triangular superior $U$, tal que $A = LU$.

Para resolver o sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, resolvemos dois sistemas triangulares sequenciais:

1. Substituição Direta: $L\mathbf{y} = \mathbf{b}$ (para encontrar $\mathbf{y}$)
2. Substituição Retroativa: $U\mathbf{x} = \mathbf{y}$ (para encontrar a solução $\mathbf{x}$)

Condição de existência: A decomposição LU sem pivoteamento existe se todos os subdeterminantes principais (menores líderes) de $A$ forem diferentes de zero.