A sequência de Fibonacci é definida pela seguinte relação de recorrência:
\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2), \quad \text{com } F(0) = 0 \text{ e } F(1) = 1. \]
Há várias formas de determinar os elementos da sequência Fibonacci:
- Iteração: Calcula cada termo somando os dois anteriores.
- Fórmula de Binet: Usa o número $1+\sqrt{5}$ para obter \( F(n) \) diretamente:
\[ F(n) = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}, \quad \text{onde } \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \]
- Exponenciação de Matrizes: Representa a sequência como multiplicação de matrizes e usa exponenciação rápida para eficiência.
Determine alguns elementos desta sequência entrando com o número $n$ abaixo.
🔍 Resultados:
Iterativo:
Binet:
Matriz:
🚀 Exponenciação de Matrizes
A exponenciação de matrizes é uma técnica eficiente para calcular números de Fibonacci em tempo $ O(\log n) $, aproveitando a estrutura matricial da recorrência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci segue a relação de recorrência:
\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2) \]Podemos representar essa relação usando multiplicação de matrizes. Definimos a matriz:
\[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]e observamos que:
\[ \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = M \cdot \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \end{bmatrix} \]Cada multiplicação de matrizes requer um número fixo de operações, então o total de multiplicações é proporcional a $ \log n $.
✅ Vantagens
- ✅ Eficiência: Computa $ F(n) $ em $ O(\log n) $
- ✅ Estabilidade Numérica: Mais precisa que Binet
- ✅ Extensibilidade: Útil para outras sequências recursivas
Esse método é ideal para calcular números de Fibonacci muito grandes com rapidez! 🚀
🔍 Curiosidades Sobre a Sequência de Fibonacci
- 🌱 A sequência aparece em padrões naturais como as pétalas de flores, as espirais de conchas e a distribuição das folhas em plantas.
- 🎨 A razão entre termos consecutivos tende ao número áureo (\( \varphi \approx 1.618 \)), muito usado na arte e arquitetura clássica.
- 🧮 A soma das diagonais do Triângulo de Pascal forma exatamente a própria sequência!
- 🐇 A sequência foi originalmente descrita por Fibonacci para modelar o crescimento de uma população fictícia de coelhos.
- 💻 É amplamente usada em algoritmos, estruturas de dados e até em análise de mercado financeiro.