Uma maneira de introduzir a função exponencial é dada pelo crescimento de bactérias. Observe a situação a seguir.
Microbiologia. Uma população de bactérias dobra seu número a cada 20 minutos. Se o processo se inicia com uma única bactéria, quantas existirão após 2 horas e 40 minutos?
De modo geral e seguindo o raciocínio, após \(x\) períodos de 20 minutos, o número \(n\) de bactérias será dado por \(n = 2^x\). Esse é um exemplo de função exponencial.
Uma função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^* \) é chamada de função exponencial quando existe um número real \(a\), com \(a > 0\) e \(a \neq 1\), tal que \(f(x) = a^x\), para todo \(x \in \mathbb{R}\).
Se \(a > 1\), dizemos que \(f\) é crescente. Se \(0 < a < 1\), dizemos que \(f\) é decrescente.
\( g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x \)
Esta é uma função exponencial decrescente, pois a base \( \frac{1}{5} \) está entre 0 e 1.
\( h(x) = (0.4)^x \)
Outro exemplo de função exponencial decrescente, com base \( 0.4 \).
\( y = \left(\sqrt{3}\right)^x \)
Esta é uma função exponencial crescente, pois a base \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) é maior que 1.
Insira os valores abaixo para plotar o gráfico da função \( f(x) = a^x \):
São muitas as áreas do conhecimento que utilizam funções do tipo exponencial para resolver situações recorrentes: engenharia, biologia, geologia, finanças e outras.
Um capital de R$ 100,00 foi aplicado numa caderneta de poupança, que rende \(2\%\) ao mês. Podemos utilizar a expressão \(M(t) = 100 \cdot 1.02^t\) para calcular o saldo \(M\) dessa caderneta após \(t\) meses.
Em uma cidade, o número de habitantes é dado pela função \(H(r) = k \cdot 2^{3r}\), em que \(k\) é constante e \(r\), que é o raio de distância em quilômetros, partindo do centro dessa cidade, é positivo e em quilômetros. Sabendo que existem 20.480 habitantes num raio de 4 km contados desde o centro, quanto há num raio de 6 km?
Assim sendo, para um raio de 6 km:
Portanto, haverá ao todo 1.310.720 pessoas.
O número $\mbox{e} \approx 2.718281828459045\ldots$, conhecido como a base da função exponencial natural, é um dos números mais importantes da matemática. Ele aparece em diversos contextos, como crescimento contínuo, cálculo diferencial e integral, séries infinitas e até mesmo na teoria das probabilidades.
O número $\mbox{e}$ aparece como o limite de uma sequência associada ao crescimento contínuo:
Essa definição surge no contexto de juros compostos contínuos.
O número $e$ também pode ser expresso como a soma de uma série infinita:
A função exponencial natural $f(x) = \mbox{e}^x$ é única porque sua derivada é igual à própria função:
Essa propriedade faz de $\mbox{e}^x$ a solução fundamental da equação diferencial $y' = y$.
Calcule o valor de \( a^x \):