Parábolas e Equações do Segundo Grau
Prof. Doherty Andrade
Parábolas e Equações do segundo grau:
Uma equação do segundo grau tem a forma geral:
Onde:
- \( a \), \( b \) e \( c \) são coeficientes reais
- \( a \neq 0 \) (caso contrário seria uma equação do primeiro grau)
Fórmula de Bhaskara
As soluções (raízes) da equação são dadas por:
Discriminante
A expressão dentro da raiz quadrada é chamada de discriminante (\( \Delta \)):
O discriminante determina a natureza das raízes:
- Se \( \Delta > 0 \): Duas raízes reais distintas.
- Se \( \Delta = 0 \): Uma raiz real dupla.
- Se \( \Delta < 0 \): Duas raízes complexas e conjugadas.
Interpretação gráfica
Quando plotamos o gráfico da função quadrática \(y=ax^2+bx+c\), as raízes da equação correspondente \(ax^2+bx+c=0\) são exatamente os pontos onde o gráfico cruza o eixo dos X.
Como o discriminante determina a natureza das raízes, temos que:
- Se \( \Delta > 0 \): o gráfico cruza o eixo dos X em dois pontos distintos.
- Se \( \Delta = 0 \): o gráfico toca o eixo X em um único ponto.
- Se \( \Delta < 0 \): O gráfico não toca o eixo dos X.
Fórmula do Vértice
O vértice de uma parábola é o ponto de máximo ou de mínimo da função quadrática associada a ela, dependendo da concavidade da parábola.
- Se a parábola tem concavidade voltada para cima (coeficiente \( a > 0 \)), o vértice é o ponto mínimo.
- Se a parábola tem concavidade voltada para baixo (coeficiente \( a < 0 \)), o vértice é o ponto máximo.
Fórmula para encontrar o vértice:
Dada uma função quadrática na forma geral:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]As coordenadas do vértice \( (x_v, y_v) \) são calculadas por:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = \frac{-\Delta}{4a} \](Ou simplesmente substitua \( x_v \) na função para encontrar \( y_v \)).
Forma canônica:
Se a função estiver na forma:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]O vértice é diretamente o ponto \( (h, k) \).