Análise de Tensão em Cabos

Prof. Doherty Andrade - www.metodosnumericos.com.br

Uma massa \(m\) está suspensa por 3 cabos presos à massa pelo ponto \(A\) e aos pontos \(B, C\) e \(D\), como mostra a figura. Sejam \(T_1, T_2, T_3\) as tensões nos cabos \(AB\), \(AC\) e \(AD\), respectivamente. Fisicamente, se a massa \(m\) está estacionária a soma das componentes na direção de cada eixo é nula. Levando isso em consideração, determine os valores das tensões.

Figura 1: Diagrama de forças para equilíbrio estático

1. Origem das Equações

As equações surgem das condições de equilíbrio estático para uma massa \( m \) suspensa por 3 cabos:

Hipóteses Fundamentais

Decomposição Vetorial

Para um cabo com vetor direção \( \mathbf{d} = (d_x, d_y, d_z) \):

\[ \mathbf{T}_i = T_i \cdot \hat{u}_i = T_i \left( \frac{d_x}{|\mathbf{d}|}, \frac{d_y}{|\mathbf{d}|}, \frac{d_z}{|\mathbf{d}|} \right) \]

onde \( |\mathbf{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2 + d_z^2} \).

2. Equações de Equilíbrio

Equilíbrio em \( x \):

\[ \sum F_x = 0 \implies \frac{d_{1x}}{|\mathbf{d}_1|} T_1 + \frac{d_{2x}}{|\mathbf{d}_2|} T_2 + \frac{d_{3x}}{|\mathbf{d}_3|} T_3 = 0 \]

Equilíbrio em \( y \):

\[ \sum F_y = 0 \implies \frac{d_{1y}}{|\mathbf{d}_1|} T_1 + \frac{d_{2y}}{|\mathbf{d}_2|} T_2 + \frac{d_{3y}}{|\mathbf{d}_3|} T_3 = 0 \]

Equilíbrio em \( z \):

\[ \sum F_z = mg \implies \frac{d_{1z}}{|\mathbf{d}_1|} T_1 + \frac{d_{2z}}{|\mathbf{d}_2|} T_2 + \frac{d_{3z}}{|\mathbf{d}_3|} T_3 = mg \]

3. Aplicação ao Problema Específico

Da figura, inferimos a geometria dos cabos:

Cabo Vetor Direção (\( \mathbf{d} \)) Comprimento (\( |\mathbf{d}| \))
AB \( (1, 3, 5) \) \( \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{35} \)
AC \( (-3, 0, 5) \) \( \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{34} \)
AD \( (1, -4, 5) \) \( \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{42} \)

Substituindo na forma matricial:

\[ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{35}} & -\frac{3}{\sqrt{34}} & \frac{1}{\sqrt{42}} \\ \frac{3}{\sqrt{35}} & 0 & -\frac{4}{\sqrt{42}} \\ \frac{5}{\sqrt{35}} & \frac{5}{\sqrt{34}} & \frac{5}{\sqrt{42}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ mg \end{bmatrix} \]

4. Solução Numérica

Para \( mg = 1 \), a solução pode ser determinada pela regra de Cramer. A solução é:

\[ T_1 \approx 0.5071, \quad T_2 \approx 0.2915, \quad T_3 \approx 0.4166 \]

Para um peso arbitrário \( mg \), multiplique esses valores por \( mg \).

5. Implementações Computacionais

MATLAB
% Sistema de equações
% Sistema de equações
A = [1/sqrt(35), -3/sqrt(34),  1/sqrt(42);
     3/sqrt(35),  0,          -4/sqrt(42);
     5/sqrt(35),  5/sqrt(34),  5/sqrt(42)];

b = [0; 0; 1]; % Para mg = 1

% Solução
T = A\b;
disp('Tensões normalizadas (T/mg):');
disp(T);
Python (NumPy)
# Importação de bibliotecas
import numpy as np

# Matriz do sistema
A = np.array([
    [1/np.sqrt(35), -3/np.sqrt(34),  1/np.sqrt(42)],
    [3/np.sqrt(35),  0,              -4/np.sqrt(42)],
    [5/np.sqrt(35),  5/np.sqrt(34),  5/np.sqrt(42)]
])

b = np.array([0, 0, 1])  # Para mg = 1

# Solução do sistema
T = np.linalg.solve(A, b)
print("Tensões normalizadas (T/mg):")
print(T)

# Para um valor específico de mg (ex: mg = 100*9.81 N)
mg = 100 * 9.81
T_real = T * mg
print("\nTensões reais (N):")
print(T_real)
Maple
# Reinicialização e carregamento de pacotes
restart;
with(LinearAlgebra):

# Definir a matriz do sistema
A := Matrix([
    [1/sqrt(35), -3/sqrt(34),  1/sqrt(42)],
    [3/sqrt(35),  0,           -4/sqrt(42)],
    [5/sqrt(35),  5/sqrt(34),  5/sqrt(42)]
]):

# Vetor de forças
b := Vector([0, 0, 1]):  # Para mg = 1

# Resolver o sistema
T := LinearSolve(A, b):
printf("Tensões normalizadas (T/mg):\n");
T;

# Para um valor específico de mg (ex: mg = 100*9.81 N)
mg := 100 * 9.81:
T_real := T * mg:
printf("\nTensões reais (N):\n");
T_real;

6. Verificação dos Resultados

Os três métodos devem retornar os mesmos valores:

\[ \begin{aligned} T_1 &\approx 0.5071 \times mg \\ T_2 &\approx 0.2915 \times mg \\ T_3 &\approx 0.4166 \times mg \end{aligned} \]

A pequena diferença na terceira casa decimal deve-se a arredondamentos numéricos.

Referências