Regra de Cramer: aprenda a usar
Prof. Doherty Andrade
O que diz a Regra de Cramer?
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas de equações lineares quando a matriz de coeficientes \( A \) é quadrada e seu determinante (\( \Delta \)) é diferente de zero.E apenas neste caso!
\[ \text{Para um sistema } Ax = b \text{, onde:} \]
\[ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}, \quad
b = \begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
\end{bmatrix} \]
O valor de cada variável \( x_i \) é dado por:
\[ x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} \]
onde:
\[ \Delta = \det(A) \] \[ \Delta_i = \det(A_i) \]e \( A_i \) é a matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de \( A \) pelo vetor \( b \).
Quando usar a Regra de Cramer?
A regra de Cramer é particularmente útil para:
- Sistemas pequenos (2x2 ou 3x3)
- Quando precisamos de apenas algumas variáveis do sistema
- Para fins didáticos, por sua interpretação geométrica
Limitações: Para sistemas maiores que 3x3, o método se torna computacionalmente ineficiente devido ao cálculo de determinantes.
Exemplos Resolvidos com a Regra de Cramer
1. Sistema 2x2
\[ \begin{cases}
2x + y = 5 \\
x - y = 1
\end{cases} \]
Solução:
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \]
\[ \Delta = \det(A) = (2 \times -1) - (1 \times 1) = -2 - 1 = -3 \]
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (5 \times -1) - (1 \times 1) = -5 - 1 = -6 \]
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \times 1) - (5 \times 1) = 2 - 5 = -3 \]
\[ x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-6}{-3} = 2 \]
\[ y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-3}{-3} = 1 \]
\[ \text{Solução: } (2, 1) \]
2. Sistema 3x3
\[ \begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + 3z = 1 \\
x + 2y - z = 2
\end{cases} \]
Solução:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]
\[ \Delta = 1\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} +1\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \Delta = 1(1-6) -1(-2-3) +1(4+1) = -5 +5 +5 = 5 \]
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1-6) -1(-1-6) +1(2+2) = -30 +7 +4 = -19 \]
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1-6) -6(-2-3) +1(4-1) = -7 +30 +3 = 26 \]
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2-2) -1(4-1) +6(4+1) = -4 -3 +30 = 23 \]
\[ x = \frac{-19}{5}, \quad y = \frac{26}{5}, \quad z = \frac{23}{5} \]
3. Sistema 4x4
\[ \begin{cases}
x + y + z + w = 10 \\
2x - y + 3z - w = 5 \\
x + 2y - z + 2w = 8 \\
3x + y + 2z - w = 12
\end{cases} \]
Solução (resumida):
\[ A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 3 & -1 \\
1 & 2 & -1 & 2 \\
3 & 1 & 2 & -1
\end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \\ 8 \\ 12 \end{bmatrix} \]
\[ \Delta = \det(A) = -20 \]
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix}
10 & 1 & 1 & 1 \\
5 & -1 & 3 & -1 \\
8 & 2 & -1 & 2 \\
12 & 1 & 2 & -1
\end{vmatrix} = -40 \]
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & 10 & 1 & 1 \\
2 & 5 & 3 & -1 \\
1 & 8 & -1 & 2 \\
3 & 12 & 2 & -1
\end{vmatrix} = -20 \]
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 10 & 1 \\
2 & -1 & 5 & -1 \\
1 & 2 & 8 & 2 \\
3 & 1 & 12 & -1
\end{vmatrix} = -20 \]
\[ \Delta_4 = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 10 \\
2 & -1 & 3 & 5 \\
1 & 2 & -1 & 8 \\
3 & 1 & 2 & 12
\end{vmatrix} = -60 \]
\[ x = 2, \quad y = 1, \quad z = 1, \quad w = 6 \]
4. Sistema 5x5
\[ \begin{cases}
2x + y + z + w + v = 10 \\
x + 2y + z + w + v = 11 \\
x + y + 2z + w + v = 12 \\
x + y + z + 2w + v = 13 \\
x + y + z + w + 2v = 14
\end{cases} \]
Solução (resumida):
\[ A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \end{bmatrix} \]
\[ \Delta = \det(A) = 6 \]
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix}
10 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
11 & 2 & 1 & 1 & 1 \\
12 & 1 & 2 & 1 & 1 \\
13 & 1 & 1 & 2 & 1 \\
14 & 1 & 1 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 6 \]
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix}
2 & 10 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 11 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 12 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 13 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 14 & 1 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 12 \]
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 10 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 11 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 12 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 13 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 14 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 18 \]
\[ \Delta_4 = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 10 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 11 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 12 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 13 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 14 & 2
\end{vmatrix} = 24 \]
\[ \Delta_5 = \begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 10 \\
1 & 2 & 1 & 1 & 11 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 12 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 13 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 14
\end{vmatrix} = 30 \]
\[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3, \quad w = 4, \quad v = 5 \]
Passo a Passo para Aplicar a Regra de Cramer
Passo 1: Verifique as condições
Certifique-se que:
- O sistema é linear
- A matriz de coeficientes é quadrada
- O determinante da matriz é diferente de zero
Passo 2: Calcule Δ = det(A)
Calcule o determinante da matriz de coeficientes:
\[ \Delta = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \text{ (para 2x2)} \]
Passo 3: Para cada variável xᵢ
Substitua a i-ésima coluna pelo vetor b e calcule Δᵢ:
\[ A_i = \begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix} \]
Passo 4: Calcule cada variável
Para cada variável \(x_i\):
\[ x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} \]
Recursos em Vídeo
Introdução à Regra de Cramer
Explicação conceitual com exemplos visuais (em português).
Demonstração Completa
Demonstração matemática da validade do método (em inglês com legendas).
Comparação com Outros Métodos
Regra de Cramer
Vantagens:
- Fácil interpretação geométrica
- Fórmula direta para cada variável
- Bom para sistemas pequenos
Desvantagens:
- Ineficiente para n > 3
- Requer cálculo de n+1 determinantes
- Problemas com arredondamento
Eliminação Gaussiana
Vantagens:
- Mais eficiente para sistemas grandes
- Menos operações computacionais
- Pode detectar sistemas impossíveis/indeterminados
Desvantagens:
- Algoritmo menos intuitivo
- Pivoteamento necessário para estabilidade
Decomposição LU
Vantagens:
- Eficiente para múltiplos sistemas com mesma matriz
- Estável numericamente
- Pode ser parcialmente pré-computado
Desvantagens:
- Implementação mais complexa
- Overhead inicial na decomposição
Tabela Comparativa
| Método | Complexidade | Estabilidade | Uso Típico |
|---|---|---|---|
| Regra de Cramer | O(n!) | Baixa | Sistemas pequenos (n ≤ 3) |
| Eliminação Gaussiana | O(n³) | Média (com pivoteamento) | Sistemas gerais |
| Decomposição LU | O(n³) | Alta | Múltiplos sistemas com mesma matriz |