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O método de Newton-Raphson é um algoritmo iterativo utilizado para encontrar raízes de sistemas de equações não lineares. Para uma função vetorial \( F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \), o problema consiste em encontrar \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \) tal que: \[ F(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \] onde \( F(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \dots, f_n(\mathbf{x}))^T \) representa um sistema de \( n \) equações não lineares com \( n \) incógnitas. Dado uma aproximação inicial \( \mathbf{x}_0 \), a atualização iterativa do método de Newton-Raphson é dada por: \[ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - J_F(\mathbf{x}_k)^{-1} F(\mathbf{x}_k) \] onde \( J_F(\mathbf{x}) \) é a matriz Jacobiana de \( F \), definida por: \[ J_F(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix} \] Se \( J_F(\mathbf{x}_k) \) for invertível, a direção de correção é encontrada resolvendo o sistema linear: \[ J_F(\mathbf{x}_k) \mathbf{d}_k = -F(\mathbf{x}_k) \] e a próxima iteração é dada por: \[ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \mathbf{d}_k. \]